Издавна мудрые искали

[egovoru]

Наверное, не приходится удивляться, что Дуглас Хофштадтер, будучи математиком по образованию, уже вторую свою книжку посвящает теореме Геделя.

Хофштадтер пишет, что со времен Эвклида авторитет математики основывался на вере в то, что можно создать такую систему аксиом и правил дедукции, что:

1) Каждое доказанное с ее помощью (т.е., выведенное из ее аксиом посредством ее правил дедукции) утверждение будет верным;
2) Каждое верное утверждение может быть доказано с ее помощью.

Достижение Геделя состоит в том, что он показал, что второе условие не может быть выполнено для всех дедуктивных систем, включающих арифметику. Но меня заинтересовали сами эти условия. Ведь они ясно показывают, что мы рассчитываем на некий независимый критерий верности утверждений, помимо их сводимости к аксиомам и подчинения правилам логики. Но что это за критерий, как не здравый смысл – иными словами, обобщение нашего практического опыта? Не говоря уже о том, что ведь и сам выбор аксиом, а также формулировка правил дедукции основаны все на том же опыте. Так что, шаткость – или, лучше сказать, способность к эволюции? – математической конструкции была очевидна и до Геделя.

Галилей, с его законами природы, написанными на языке математики, был все-таки неправ. Математика – не язык природы, а наш язык, при помощи которого мы пытаемся описывать природу.

Но отзвуки этого галиеевского (пифагорейского?) представления о математике ощущаются и сейчас – например, когда теорему Геделя приводят как аргумент в пользу непознаваемости мира, хотя к миру она не имеет никакого отношения.

«Аллегория математики».
Керамическое панно в саду дворца Монте на Мадейре
(фото с сайта Zeugnisse zu Mathematikern)

Comments

[egovoru.livejournal.com]

"Естественно считать верным то, что выводится из системы аксиом".

Действительно, это был бы самый безопасный путь: просто определить истину как то, что выводится из аксиом по правилам логики. И в наш релятивистский век некоторые (например, Бруно Латур) так и поступают, утверждая, что не то что математические, но и естественно-научные истины - вовсе не истины, а коллективно принятые нами условности ;)

Но Рассел с Уайтхедом - а ведь именно их систему и взялся анализировать Гедель - были люди предыдущего поколения, и их заботила адекватность математики как способа описания действительности. Так, во всяком случае, получается в изложении Хофштадтера - собственно трехтомную "Principia Mathematica" я едва бы осилила :)

"По первой теореме Гёделя, всегда существует утверждение, такое, что ни оно само, ни его отрицание не выводится из системы аксиом".

Насколько я понимаю, здесь существенно, что речь идет не просто об "утверждении" как таковом, а именно об утверждении истинном. Невыводимость ложного утверждения никого бы не смутила ;)

[a-fainshtein.livejournal.com]

А что есть "действительность"? Может быть, существуют разные миры, описываемые разными системами аксиом? И тогда аксиомы, отрицающие одна другую, окажутся "верными" в разных мирах.

Я, по своему невежеству, так и не знаю: в земных пределах "верна" евкидова геометрия - а в космических? Нет ли отклонений в сторону геометрии Лобачевского?

[egovoru.livejournal.com]

Насчет разных миров Хофштадтер ничего не пишет; собственно, и проблема истины в этой книге его не особенно занимает - она вообще-то о сознании, только автор подбирается к нему очень кружным путем, через теорему Геделя (ну, книжка не случайно же называется "Я - это странная петля"; под таким названием автору просто-таки положено попетлять ;)

А что касается геометрии Лобачевского, то она ведь верна и на некоторых поверхностях во вполне земных пределах - например, на такой:



То, что само наше пространство - не плоское, вроде бы следует из общей теории относительности. Правда, представить себе неплоское трехмерное пространство (а именно о таком идет речь у Эйнштейна, насколько я понимаю), не так-то просто. В учебниках ведь обычно предлагают двумерные модели.

[a-fainshtein.livejournal.com]

Что на поверхностях геометрия другая - это понятно. Я как раз про искривлённое пространство.

[egovoru.livejournal.com]

Об этом я просто ничего не знаю. Насколько я понимаю, все "неэвклидовы" геометрии разрабатывались именно как альтернативные варианты планиметрии; о пространстве там речи вроде бы не идет.

[a-fainshtein.livejournal.com]

Я тоже не знаю геометрии вне стандартов, читаемых младшекурсникам.

[a-gorb.livejournal.com]

”Правда, представить себе неплоское трехмерное пространство (а именно о таком идет речь у Эйнштейна, насколько я понимаю), не так-то просто.”
Небольшое уточнение. У Эйнштейна 4х-мерное пространство-время. Вот 4х-мерность представить тяжело. А кривое 3х-мерное – не сложнее, чем прямое. Вот как вы себе представляете прямое трехмерное пространство?:)

[egovoru.livejournal.com]

Представить себе многомерное пространство мне удается при помощи многоосной системы координат: если числа можно откладывать по одной, двум или трем осям, то почему же нельзя по четырем и т.д.?

Но такая аналогия мало помогает при попытках определить степень кривизны этих пространств. Возможно, ее тоже следует искать не в зрительных образах, а в численных отношениях?

[a-gorb.livejournal.com]

”Возможно, ее тоже следует искать не в зрительных образах, а в численных отношениях?”
Ага. Ведь образно представить 4 перпендикулярные прямые тоже не просто (я вот не могу). Так и здесь. Кривизна означает некие численные соотношения. Например, длина окружности оказывается не равной числу Пи умноженному на величину диаметра. Или (как у Эйнштейна) часы (отмеряющие одну из координат) в разных точках (по другим трем пространственным координатам) «тикают» в разном темпе.

[egovoru.livejournal.com]

Да, и это лишний раз доказывает мощь математики как средства познания ;)