Издавна мудрые искали

[egovoru]

Наверное, не приходится удивляться, что Дуглас Хофштадтер, будучи математиком по образованию, уже вторую свою книжку посвящает теореме Геделя.

Хофштадтер пишет, что со времен Эвклида авторитет математики основывался на вере в то, что можно создать такую систему аксиом и правил дедукции, что:

1) Каждое доказанное с ее помощью (т.е., выведенное из ее аксиом посредством ее правил дедукции) утверждение будет верным;
2) Каждое верное утверждение может быть доказано с ее помощью.

Достижение Геделя состоит в том, что он показал, что второе условие не может быть выполнено для всех дедуктивных систем, включающих арифметику. Но меня заинтересовали сами эти условия. Ведь они ясно показывают, что мы рассчитываем на некий независимый критерий верности утверждений, помимо их сводимости к аксиомам и подчинения правилам логики. Но что это за критерий, как не здравый смысл – иными словами, обобщение нашего практического опыта? Не говоря уже о том, что ведь и сам выбор аксиом, а также формулировка правил дедукции основаны все на том же опыте. Так что, шаткость – или, лучше сказать, способность к эволюции? – математической конструкции была очевидна и до Геделя.

Галилей, с его законами природы, написанными на языке математики, был все-таки неправ. Математика – не язык природы, а наш язык, при помощи которого мы пытаемся описывать природу.

Но отзвуки этого галиеевского (пифагорейского?) представления о математике ощущаются и сейчас – например, когда теорему Геделя приводят как аргумент в пользу непознаваемости мира, хотя к миру она не имеет никакого отношения.

«Аллегория математики».
Керамическое панно в саду дворца Монте на Мадейре
(фото с сайта Zeugnisse zu Mathematikern)

Comments

[egovoru.livejournal.com]

Интересно, что Пенроуз таки настаивает на такой формулировке теоремы Геделя, которая утвеждает, что ..."существуют такие верные высказывания, верность которых невозможно доказать в данной системе", в противоположность тому, что ..."существуют такие высказывания, истинность которых невозможно ни доказать, ни опровергнуть в данной системе". Тех, кто придерживается второй формулировки, он называет "формалистами" и страшно ругает за ограниченность ;) К сожалению, он не объясняет, что же он предлагает считать критерием математической истинности, если не сводимость к аксиомам? На мой взгляд человека, от математики далекого, пенроузовский путь расширенного понимания математической истины выглядит каким-то сомнительным ;) Интересно, какова была формулировка самого Геделя? Впрочем, тот ведь тоже был платонистом ;)

Кстати сказать, оказывается, Макс Тегмарк выступал с критикой (http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907009) пенроузовской идеи насчет сознания как квантового процесса. Его аргумент - что характерные времена работы нейронов на порядки превосходят квантовую шкалу.

[re-xor.livejournal.com]

Про платонизм Геделя я ничего не знаю. Что касается его формулировки, то вот из Википедии:
Any effectively generated theory capable of expressing elementary arithmetic cannot be both consistent and complete. In particular, for any consistent, effectively generated formal theory that proves certain basic arithmetic truths, there is an arithmetical statement that is true,[2] but not provable in the theory.
И ниже из сноски [2]:
the Gödel sentence is true in this sense because it "asserts its own unprovability and it is indeed unprovable"

А про критику идей Пенроуза со стороны Тегмарка я даже, кажется, слышал в выступлении Хамероффа, и он там вроде бы какие-то контраргументы приводил, но они были слишком специальные, и я не вникал.

[egovoru.livejournal.com]

Вот (http://plato.stanford.edu/entries/goedel/) что пишет Stanford Encyclopedia of Philosophy: "In his philosophical work Gödel formulated and defended mathematical Platonism, involving the view that mathematics is a descriptive science, and that the concept of mathematical truth is an objective one." И Пенроуз тоже упоминает об этом в своей книжке - видимо, это хорошо известный факт.

И он, судя по приведенной Вами цитате, имел в виду именно истинные суждения, истинность которых нельзя доказать, а не неопределенные. Хотелось бы мне знать, каким образом он предполагал распознавать их истинность? Возможно, путем откровения свыше?

[re-xor.livejournal.com]

Я потому сноску [2] и привел, что там как раз и говорится, что утверждение (используемое в доказательстве) является истинным в том смысле, что оно говорит о своей недоказуемости, и оно действительно оказывается недоказуемым.

Но вообще, чтобы лучше представить себе отсутствие единства мнений по поводу интерпретации теоремы Геделя (и тогда Пенроуз не будет выглядеть каким-то особым исключением), можно взглянуть на эту статью:
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_second_problem

[egovoru.livejournal.com]

Нашла в ЖЖ специалиста по мат. логике. Вот (http://ver1958.livejournal.com/7534.html?thread=91502#t91502) что он пишет - т.е., ворде бы ни о какой истине без доказательства, a la Пенроуз, речь все-таки не идет.

Его пост, кстати сказать, о той самой лекции о теореме Геделя, которую Вы мне посоветовали - может быть, Вам будет интересно.