Издавна мудрые искали

[egovoru]

Наверное, не приходится удивляться, что Дуглас Хофштадтер, будучи математиком по образованию, уже вторую свою книжку посвящает теореме Геделя.

Хофштадтер пишет, что со времен Эвклида авторитет математики основывался на вере в то, что можно создать такую систему аксиом и правил дедукции, что:

1) Каждое доказанное с ее помощью (т.е., выведенное из ее аксиом посредством ее правил дедукции) утверждение будет верным;
2) Каждое верное утверждение может быть доказано с ее помощью.

Достижение Геделя состоит в том, что он показал, что второе условие не может быть выполнено для всех дедуктивных систем, включающих арифметику. Но меня заинтересовали сами эти условия. Ведь они ясно показывают, что мы рассчитываем на некий независимый критерий верности утверждений, помимо их сводимости к аксиомам и подчинения правилам логики. Но что это за критерий, как не здравый смысл – иными словами, обобщение нашего практического опыта? Не говоря уже о том, что ведь и сам выбор аксиом, а также формулировка правил дедукции основаны все на том же опыте. Так что, шаткость – или, лучше сказать, способность к эволюции? – математической конструкции была очевидна и до Геделя.

Галилей, с его законами природы, написанными на языке математики, был все-таки неправ. Математика – не язык природы, а наш язык, при помощи которого мы пытаемся описывать природу.

Но отзвуки этого галиеевского (пифагорейского?) представления о математике ощущаются и сейчас – например, когда теорему Геделя приводят как аргумент в пользу непознаваемости мира, хотя к миру она не имеет никакого отношения.

«Аллегория математики».
Керамическое панно в саду дворца Монте на Мадейре
(фото с сайта Zeugnisse zu Mathematikern)

Comments

[egovoru.livejournal.com]

Да, кажется, авторы книги имеют в виду нечто более близкое к моей догадке в исходном посте, чем то, что я написала ниже в комментарии. И на тех страницах, что Вы указали, и еще позже, в заключении (стр. 115), они пишут:

"Истинность некоторых математических утверждений, не выводимых из данного множества аксиом, можно тем не менее установить при помощи метаматематических рассуждений".

А что такое эти "метаматематические рассуждения", как не здравый смысл, основанный на практическом опыте?

[a-gorb.livejournal.com]

”А что такое эти "метаматематические рассуждения", как не здравый смысл, основанный на практическом опыте?”
Думаю, что не совсем так. "метаматематические рассуждения" – это а) все-таки рассуждения, т.е. планомерное и четкое применение определенных правил построения рассуждений (возможно, что это соответствует вашему термину «здравый смысл», но я бы так не сказал); б) математические, т.е. опирающиеся на некие первоначальные недосказываемые положения (которые совсем не обязательно основаны на практическом опыте, хотя в данном случае скорее всего основаны на опыте математиков). Мета – тут не слишком важно, просто означает, что это рассуждения о математике.

Могу предложить еще и такую очень на мой взгляд интересную книжку: Бурбаки Н.
Очерки по истории математики. В ней есть глава: «Основания математики. Логика. Теория множеств». А в этой главе есть параграф: «Понятие истины в математике». Да и вся глава интересна. В частности, говоря об аксиоматике геометрии Гильбертом, авторы пишут: «… действительно, не довольствуясь тем, чтобы дать полную систему аксиом евклидовой геометрии, Гильберт классифицирует их по группам с различными признаками и старается определить точные пределы каждой из этих групп аксиом, не только изучая следствия каждой из них изолированно, но также обсуждая различные «геометрии», полученные при изъятии или изменении некоторых из этих аксиом (среди них «геометрии» Лобачевского и Римана являются лишь частными случаями); он убедительно доказывает, что в той области науки, которая до сих пор считалась наиболее близкой к явлениям чувственного мира, математики пользуются свободой при выборе постулатов.»

[egovoru.livejournal.com]

"совсем не обязательно основаны на практическом опыте"

Вы, конечно, правы в том, что теорему Пифагора никто не проверяет непосредственными измерениями, и в том, что "метаматематические рассуждения" нельзя непосредственно равнять с практическим опытом.

Но все же я думаю, что в конечном счете все наши знания основаны на практическом опыте - а каков может быть еще их источник, ведь не божественное же откровение?

Спасибо за рекомендацию книжки Бурбаки - может быть, она прояснит дело.

[a-gorb.livejournal.com]

”Но все же я думаю, что в конечном счете все наши знания основаны на практическом опыте - а каков может быть еще их источник, ведь не божественное же откровение?”
Тут я с вами согласен. Но внесу небольшое уточнение. Знания чего? Знания окружающего мира основаны на практическом опыте. Но вот математика не занимается окружающим миром. Математические знания есть знания о неких дедуктивных системах. Раньше, да, считали, например, что эвклидова геометрия есть единственный вариант геометрии. И тогда на выбор: либо она дана от бога, либо есть изображение окружающего мира.

Сейчас подход несколько иной. Математика считает себя вправе создавать любые дедуктивные системы. А вот какие из них будут применимы к познанию мира – это уже ее не сильно касается. Причем при применении дедуктивной системы к миру проверяется не только ее аксиомы, но и вся система в целом. Приведу тройку примеров. 1) Не соглашусь с тем, что «теорему Пифагора никто не проверяет непосредственными измерениями». Проверяют, пусть неосознанно, но проверяют. И такая проверка, подтверждая теорему Пифагора, подтверждает и аксиомы, через которые она выводится. 2) Риманова геометрия – представляла весьма узкий интерес, пока Эйнштейн ей не воспользовался для своих теорий, и внезапно оказалась, что она подходит для описания явлений гравитации. Разумеется, это сильно подстегнуло развитие этого отдела математики. 3) Теория электромагнетизма Максвелла представляет собой тоже дедуктивную систему (но в физике, а не в чистой математике). Максвелл написал свои уравнения в какой-то степени произвольно, а вот выводы из них, такие как существование ЭМ волн, проверялись весьма тщательно.

Т.е. математика не столько познание само по себе, сколько инструмент этого познания.

[egovoru.livejournal.com]

Согласна с Вашими уточнениями. Да, математика - дедуктивная система, она соприкасается с реальным миром только в своих основаниях - аксиомах и правилах вывода. Но именно это соприкосновение и делает ее столь эффективной для описания этого мира. Именно поэтому, казалось бы, "высосанные из пальца" неэвклидовы геометрии и т.п. нашли свое практичекое применение: "Вы рисуйте, вы рисуйте, вам зачтется" ;)

[a-gorb.livejournal.com]

Ок, нет возражений. У меня был пост относящийся к этому вопросу.

[egovoru.livejournal.com]

"Но сами эти законы в логике выступают в «замаскированном» виде, именно как законы правильного мышления, а не как непосредственные законы природы, которыми они по сути являются"

Законы логики (они же - правила вывода в моем тексте) - даже еще более интересная проблема, чем аксиомы. Вы, конечно, правы, что они отражают свойства нашего мира. Но и традиционное понимание, что логика - это законы нашего мышления, тоже верно: будь у нас другие мозги, наша логика была бы другой ;) Иными словами, логика - результат взаимодействия наших мозгов с нашим миром (причем мозги, естественно - тоже не чуждая этому миру субстанция).

Интересно, что фантасты, как я понимаю, довольно слабо разработали такую возможность - или это потому, что персонажи, действующие по другой логике, были бы для нас слишком непонятны?

[a-gorb.livejournal.com]

”будь у нас другие мозги, наша логика была бы другой ;)”
А вот это большой вопрос, который распадается на два: 1) а могли бы быть другие мозги (не в смысле выбора другого материала, а как раз в смысле другого принципа построения) 2) если мозг был бы другим, привело бы это к другим правилам.
Мне кажется, что ответ на оба этих вопроса – нет. Мозг хорошо приспособленный к среде должен соответствовать «правилам» этой среды.

”ли это потому, что персонажи, действующие по другой логике, были бы для нас слишком непонятны?”
Непонятны – это одно (об этом позже). А вы вот попробуйте придумать эту самую другую логику:)

[egovoru.livejournal.com]

"Мозг хорошо приспособленный к среде должен соответствовать «правилам» этой среды"

Совершенно верно, но ведь даже в условиях одной нашей планеты среда-то несколько иная? И, если у нас возникли (отобрались) разные физические характеристики для адаптации к местным условиям, то, вероятно, и мозги могут быть немного разными? Выяснили же, например, что китайцы по-иному рассматривают картины, чем европейцы?

А главное, мы же еще не исключили возможности, что и на других планетах могут быть разумные существа? А там условия могут отличаться от наших еще более существенно, что приведет к отбору и других мозгов.

"А вы вот попробуйте придумать эту самую другую логику"

Мне очень понравился пример, который приводят в своей книжке Бурбаки: логика не дуалистическая ("есть" или "нет"), а основанная на трех возможных взаимоисключающих состояниях: "есть", "нет" и "неизвестно" ;)

[a-gorb.livejournal.com]

”А там условия могут отличаться от наших еще более существенно, что приведет к отбору и других мозгов.”
Условия - не слишком важно. Все равно это будет в рамках законов классической физики, а там будет работать некий аналог нашей логики. Разумеется, можно предположить, что в других мирах будут другие законы природы, но это слишком смелое предположение.

”логика не дуалистическая ("есть" или "нет"), а основанная на трех возможных взаимоисключающих состояниях: "есть", "нет" и "неизвестно" ;)”
Да, многозначные и нечеткие логики имеют место быть. Но они есть скорее обобщение и расширение обычной логики. И возможно более хорошая модель действительных рассуждений человека.
Однако вопрос в том, возможна ли принципиально другая логика.

[egovoru.livejournal.com]

"возможна ли принципиально другая логика"

Интересный вопрос, хотя не очень понятно, что мы должны счесть "принципиально" другим?

Но наша логика, очевидно - результат нашего обитания в макромире, описываемом законами Ньютона, а, например, столкнувшись с квантовыми явлениями, мы обнаружили, что для них наша обычная интуиция уже не слишком подходит. Возможно, мы научились бы понимать квантовые явления лучше, если бы сумели разработать более подходящую для них логику?

[a-gorb.livejournal.com]

”столкнувшись с квантовыми явлениями, мы обнаружили, что для них наша обычная интуиция уже не слишком подходит”
Именно так. В этом, на мой взгляд, и есть основная трудность в понимании КМ. Отсюда и все рассуждения о ее интерпретации, т.к. хочется перекинуть мостик от одной логике к другой.
”Возможно, мы научились бы понимать квантовые явления лучше, если бы сумели разработать более подходящую для них логику?”
Фон Нейман и предложил такую логику. Все тоже самое, но только нет дистрибутивности. Убрали всего лишь один закон и уже полная непривычность!

[egovoru.livejournal.com]

"уже полная непривычность"

Возможно, что для выработки нужной привычки просто требуется еще немного времени. Я хорошо помню, что, когда мне в школе рассказали про корпускулярно-волновой дуализм, на меня это произвело далеко не такое ошеломлящее впечатление, о котором я потом читала в книгах людей того поколения, на чьих глазах совершались эти открытия. И это не потому, что я чего-то не поняла, а просто с тех пор эти представления уже проникли в наше повседневное коллективное сознание, стали более привычными.

[a-gorb.livejournal.com]

”Возможно, что для выработки нужной привычки просто требуется еще немного времени.”
Согласен. Идеи Галилея в свое время тоже с трудом пробивали себе дорогу.
”И это не потому, что я чего-то не поняла”
При всем уважении, это потому, что вам слишком мало рассказали:)

[egovoru.livejournal.com]

"это потому, что вам слишком мало рассказали"

Ну, это уж несоменно! Мы можем смело положиться на мнение Фейнмана: "Я думаю, что смело могу утверждать: квантовую механику не понимает никто". Но, с другой стороны, он же: "Однажды, после долгих испытаний, вы обнаружите, что это не так ужасно, как выглядит на самом деле" ;)