Дождь, будучи непрерывен – вроде самопознанья

[egovoru]

Различие между потенциальной и актуальной бесконечностью, так беспокоившее греков, от меня ускользает. Более наглядным мне кажется различие между неограниченной бесконечностью (ее мы получаем, например, последовательно прибавляя к единице другую единицу, потом еще одну и т.д.) и ограниченной бесконечностью (создаваемой путем прибавления к единице ее половины, потом четверти и т.д.). Последний род бесконечности и сбил с толку Зенона в его самой знаменитой апории про Ахиллеса и черепаху.

Но счетные бесконечности из моих примеров – это еще цветочки. Первая по-настоящему завораживающая бесконечность – это континуум, то есть, непрерывность. Не удивительно, что набор приемов для работы с непрерывностью – математический анализ – стал мощным методом моделирования реальности, полностью преобразовавшим физику и многие другие науки. Греки, в лице Архимеда, уже вплотную подошли к нему, но все же для того, чтобы окончательно разобраться с непрерывностью, потребовалось еще 19 веков!

В книжке Стивена Строгаца, посвященной истории анализа, нет почти ничего, чего бы не знал выпускник средней школы, но читать ее очень приятно. Автор искренне восхищается интеллектуальными достижениями человечества, и это восхищение заразительно.

Правда, местами он все же перебарщивает с упрощениями. Например, сравнение показательной и логарифмической функции со степлером и антистеплером мне кажется чересчур натянутым. Или вот картинка, которую он рисует, рассказывая о том, как Архимед вычислил «квадратуру» (площадь) круга путем разрезания его на секторы и складывания их другим способом. Ну зачем, зачем автору потребовалось разрезать крайний сектор на две половинки (самый правый рисунок)? Ведь и так ясно, что при увеличении числа секторов угол между короткой стороной сложенной из них фигуры и вертикалью будет стремиться к нулю – а ненужное разрезание только отвлекает от главной идеи!

Иллюстрация из книги Стивена Строгаца, объясняющая
геометрический способ вычисления площади круга

Но в целом книжка дает толковое введение в предмет, и я бы даже рекомендовала ее в качестве школьного учебника – ну, или по крайней мере книги для внеклассного чтения. На мой взгляд, школьная программа по математике слишком перегружена однотипными механическими упражнениями и слишком бедна идеями. Я имею в виду ту программу, по которой училась я сама, но и сейчас вряд ли что-то изменилось.

Понятно, что программа формируется жестким императивом: предоставить учителям удобный способ проверки знаний, а что может быть проще, чем сопоставление одного-двух чисел – решений уравнения, найденных учеником – с тем, что напечатано в конце задачника? Более того, ведь эту процедуру можно легко перепоручить компьютеру – и гуляй, Вася! Но есть еще немало красивых математических идей, вполне доступных пониманию школьника, и знакомство с ними оказалось бы для него гораздо полезнее, чем бесконечное преобразование синусов в косинусы и обратно.

Страница рукописи Ньютона, на которой он находит площадь под гиперболой и использует свой степенной ряд, чтобы вычислить натуральный логарифм числа 1.1 с точностью до пятидесяти знаков

Спасибо уважаемому evgeniirudnyi за рассказ о книжке и уважаемому vermishell за ссылку на бесплатный текст ее русского перевода.

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Hello!
LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the following categories: Литература (https://www.livejournal.com/category/literatura?utm_source=frank_comment), Образование (https://www.livejournal.com/category/obrazovanie?utm_source=frank_comment), Общество (https://www.livejournal.com/category/obschestvo?utm_source=frank_comment), Психология (https://www.livejournal.com/category/psihologiya?utm_source=frank_comment).
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.
Frank,
LJ Team

[egovoru.livejournal.com]

Короче - математика, Фрэнк!

[greygreengo.livejournal.com]

У Хофтштадера в книге "Гедель, Эшер, Бах эта бесконечная гирлянда" концепция диалогов об Ахилле и Черепахе лучше раскрыта.

[egovoru.livejournal.com]

Я что-то не осмеливаюсь читать эту знаменитую книжку, так что буду очень признательна Вам, если Вы расскажете, что Хофштадтер пишет в ней об этой зеноновской апории? Строгац считает, что мы толком не понимаем, что, собственно, хотел сказать ею Зенон.

[greygreengo.livejournal.com]

"Давайте спорить о вкусе омаров с теми кто их ел" (с)

Много аналогий между аналогиями. Смесь восприятия музыки на примере Баха, живописи на примере Эшера и математики на примере Гёльдера выраженная в виде парадоксальных примеров и их разрешения. Парадоксы Зенона взяты в качестве основы для диалогов между Ахиллом и Черепахой, и эта диалоговость с аналогиями из баховских чего-то там на три голоса (в музыке я откровенный профан) создает основу для рассуждений о том, как могут возникать смыслы в распутывании петель парадоксов мышления. Это автор сразу же привязывает к моделированию искусственного интеллекта, что для 1998 года тема горячая.

ЗЫ Впрочем — это только от прочтения вступления.

[egovoru.livejournal.com]

Спасибо. Похоже, автор просто отталкивается от апории Зенона для развития каких-то своих идей, так? Но собственно в апории вроде бы нет никакой рекурсивности, о которой рассуждает Хофштадтер? Вот парадокс брадобрея, это да :)

[egovoru.livejournal.com]

А что Вы скажете о школьной математике? Согласны, что она переполнена упражнениями по переливанию пустого в порожнее и относительно бедна идеями, или мне это только так кажется, а на самом деле все эти упраженения для чего-нибудь нужны?

[greygreengo.livejournal.com]

"Для того, чтобы понять, что пудинг испорчен, не обязательно есть его целиком" (англ. посл.)

Такого высушенного понятия числа, какое вложено в школьную математику, не встречается больше нигде, даже в фанатичной схоластике. Детей исходно ставят перед фактом, что математика — символьный язык на котором говорит Природа, так, что они остаются в этой скрюченной позе всю оставшуюся жизнь, боясь разогнуться. Понятно, что формализм надо размачивать, и, понятно, что эта структура курса школьной математики должна быть основана на максимальном приближении принципов эффективного обучения, которым сейчас усиленно пичкается любой софт по ИИ, к, собственно, математическому базису для кожаных мешков сиреч человеков.

Кое-где конечно пытаются начать рассказывать теоретико-множественные конструкции на примере прорисовывания множеств Венна в младших классах, но потом эта инициатива идет на нет. Даже потребности программистов, которым нужны системы счисления дают уже настолько поздно, что ученики либо сами до них доходят при помощи гугла и родителей (кому повезет), либо получают уже тогда, когда карманных денег на выпивку становится недостаточно.

А это натаскивание на тесты — в этом есть что-то от рефлексирующих павловских собачек. Чем длиней палка, лучше навык сдачи тестов — тем больше бананов насбиваешь. И в ход идет понятие инсайда. Тот кто получил информацию о том, каким именно будет в целом направление тестовых задач, тот и выиграл.
Поэтому-то и в ходу репетиторы из тех вузов, которые могут натаскать на привычный круг задач. Впрочем, это вполне в духе рассуждений о том, что "при сталине у меня член стоял и вообще все было лучше".

ЗЫ Может их так и надо. Просто такое современное избиение младенцев, чтобы ни один иисус не вырос.

[egovoru.livejournal.com]

"Такого высушенного понятия числа, какое вложено в школьную математику, не встречается больше нигде"

А разве оно "высушенное"? Ведь число в школьной математике - это точка на числовой оси, так? Отрицательные числа - это числа по другую сторону от нуля на этой оси, а мнимые - это точки на перпендикулярной оси. По-моему, очень просто и наглядно, разве нет?

"Поэтому-то и в ходу репетиторы из тех вузов, которые могут натаскать на привычный круг задач"

Честно сказать, мне-то кажется, что самый лучший способ отбора абитуриентов - это неформальная беседа с ними тех людей, кто будет им преподавать (именно его мы и практикуем при отборе кандидатов в наш биологический класс). Да, недастаток этого метода - трудно предотвратить коррупцию, но, может, даже коррупция лучше того, что мы имеем в результате натаскивания на проверяемые компьютерами тесты?

[alex-new-york.livejournal.com]

Из всех математических чудес самым впечатляющим мне в юности показалось представление разложения функции в ряд Тейлора как оператора экспоненты от производной, умноженной на сдвиг аргумента. Что позволяло разложить производные и интегралы в степенные ряды операторов конечной разности и вычислять их с умопомрачительной точностью всего за несколько арифметических операций. Или, скажем, с немыслимой точностью вычислять будущее значение функции, используя всего несколько ее предыдущих значений

[egovoru.livejournal.com]

Вот и Ньютон на приведенной странице занимается разложением в степенной ряд. Строгац, кстати, пишет, что в этой тетради Н. сделал ошибку на 28-м знаке, но потом исправил ее в какой-то более поздней рукописи :)

[alex-new-york.livejournal.com]

Мой комментарий о другом степенном ряде, когда мы разлагаем в ряд не саму функцию, а действующий на нее оператор — например, оператор производной, сдвига аргумента или интеграла. И разлагаем не по степеням аргумента, а по степеням оператора конечной разности. В математических программах университетов об этом интересном вычислительном приеме рассказывают редко

[egovoru.livejournal.com]

Ох, боюсь, это уже недоступные для меня вещи, но охотно верю, что они замечательные! В математике, конечно, эстетическая компонента очень важна: как я понимаю, некоторые профессионалы даже ориентируются на нее в поисках доказательств :)

[alex-new-york.livejournal.com]

Да, меня этот подход восхитил как раз своей красотой и элегантностью

[egovoru.livejournal.com]

А что скажете насчет этого совершенно ненужного разрезания крайних секторов? Автор не пишет, сам ли он это придумал, или это было уже у Архимеда, но мне что-то не верится, что это Архимед - мне кажется, это автор сам, в своем порыве сделать материал доступным для любого читателя :)

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Действительно, книга хорошо написана. Такой стиль изложения дан не каждому. Я бы так не смог.

[egovoru.livejournal.com]

Мне кажется, тут большую роль сыграло искреннее вохищение автора достижениями человеческого ума. Кроме того, он демонстрирует завидную ясность мысли и, главное, умение переключиться на читателя, который не знает того, что знает он сам. По моим наблюдениям, это последнее и есть самое трудное для любого автора: мы все варимся в соку собственных мыслей и представлений и забываем, что ведь другие могут и не знать того, что знаем мы :) Он вроде еще какую-то другую книжку написал, что-то про приключения Х или как-то так - Вам она не попадалась?

Кстати, я заметила, что журнал нашего собеседника в Вашем журнале ведет себя очень странно: какое-то время назад он был удален, потом появился снова, а сейчас, я смотрю, он опять перечеркнут, то есть удален. Не знаете, что там происходит у его хозяина?

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Нет, я не читал других книг автора.

Действительно, ЖЖ то пропадает, то появляется. Но так было и раньше под другими именами.

[andresol.livejournal.com]

Буду иметь эту книгу и автора в виду. У меня в прошлом году был интерес к математическому нон-фикшену. Пока им загрузился, думаю, что если начну читать Строгаца, то половина будет пересказом историй, которые я по три раза прочитал.

[egovoru.livejournal.com]

Да, эта книжка представляет интeрес больше именно с точки зрения того, как надо излагать математические сведения для неподготовленной аудитории, чем по существу. Даже для меня, с очень слабой математикой в бэкграунде, там не было ничего нового, а уж для лучше образованных людей и подавно не будет. Тем не менее, я не жалею, что ее прочла, поскольку она действует очень вдохновляющее, а это же главное, что требуется от научно-популярной литературы!

Это последняя на сегодняшний день книжка у ее автора, а раньше он написал еще несколько (https://en.wikipedia.org/wiki/Steven_Strogatz#Writing_and_outreach).

[serge no (from livejournal.com)]

Ну зачем, зачем автору потребовалось разрезать крайний сектор на две половинки (самый правый рисунок)? Ведь и так ясно, что при увеличении числа секторов угол между короткой стороной сложенной из них фигуры и вертикалью будет стремиться к нулю

Увеличение числа секторов — то же вписывание правильных многоугольников, вид сбоку. И вот для этих многоугольников выкладывание треугольников в ряд с разрезанием последнего как раз наглядно сводит их площадь к площади прямоугольника. А выкладывание полоски с отчётливо кривой границей из грубых секторов никакой полезной наглядности не даёт.

[egovoru.livejournal.com]

Да, конечно, вычисления предела площади вписанного или описанного многоугольника - это та же самая идея, и даже, кажется, именно ее-то и применил Архимед. Но мне как раз нравится предложение Строгаца не связываться с многоугольниками, а сразу разрезать круг на секторы, поскольку мне очень легко представить, как сложенная из них фестончатая фигура в пределе превращается в прямоугольник. Но, конечно, неизвестно, насколько легко это увидят детишки, впервые столкнувшиеся с подобным подходом?

[serge no (from livejournal.com)]

мне очень легко представить, как сложенная из них фестончатая фигура в пределе превращается в прямоугольник.

В прямоугольник с высотой, в точности равной радиусу круга? А из чего это наглядно следует?

[egovoru.livejournal.com]

Так ведь длина короткой стороны этой фестончатой фигуры, сложенной из секторов, с самого начала равна радиусу и остается ему равна все время, независимо от того, на сколько сектроров мы круг разрезаем. Точно так же ее длинная сторона все время остается равной длине окружности.

Единственное, что нас тут не устраивает, так это то, что длинная сторона - это не прямая линия, а угол между ней и короткой стороной - не 90 градусов. Но понять, что при увеличении числа секторов длинная сторона будт стремиться к прямой, а угол - к прямому углу, мне кажется, очень легко? Причем, для этого совершенно не требуется разрезать крайний сектор, как на рисунке автора.

[serge no (from livejournal.com)]

Не знаю, по-моему, очень легко понять, что длинная сторона всегда будет оставаться кривой, на какое число секторов ни разрезай. А в прямую она может превратиться только если вместо секторов будут отрезки, у которых нет второго измерения, что вообще лишает смысла слово "разрезание" и измерение длины как суммы. В этой якобы очень наглядной картине ни на одном этапе нет ничего наглядно измеримого более или менее простыми способами, в отличие от измерения площади многоугольников.