egovoru | Дождь, будучи непрерывен – вроде самопознанья (Reply)

Различие между потенциальной и актуальной бесконечностью, так беспокоившее греков, от меня ускользает. Более наглядным мне кажется различие между неограниченной бесконечностью (ее мы получаем, например, последовательно прибавляя к единице другую единицу, потом еще одну и т.д.) и ограниченной бесконечностью (создаваемой путем прибавления к единице ее половины, потом четверти и т.д.). Последний род бесконечности и сбил с толку Зенона в его самой знаменитой апории про Ахиллеса и черепаху.

Но счетные бесконечности из моих примеров – это еще цветочки. Первая по-настоящему завораживающая бесконечность – это континуум, то есть, непрерывность. Не удивительно, что набор приемов для работы с непрерывностью – математический анализ – стал мощным методом моделирования реальности, полностью преобразовавшим физику и многие другие науки. Греки, в лице Архимеда, уже вплотную подошли к нему, но все же для того, чтобы окончательно разобраться с непрерывностью, потребовалось еще 19 веков!

В книжке Стивена Строгаца, посвященной истории анализа, нет почти ничего, чего бы не знал выпускник средней школы, но читать ее очень приятно. Автор искренне восхищается интеллектуальными достижениями человечества, и это восхищение заразительно.

Правда, местами он все же перебарщивает с упрощениями. Например, сравнение показательной и логарифмической функции со степлером и антистеплером мне кажется чересчур натянутым. Или вот картинка, которую он рисует, рассказывая о том, как Архимед вычислил «квадратуру» (площадь) круга путем разрезания его на секторы и складывания их другим способом. Ну зачем, зачем автору потребовалось разрезать крайний сектор на две половинки (самый правый рисунок)? Ведь и так ясно, что при увеличении числа секторов угол между короткой стороной сложенной из них фигуры и вертикалью будет стремиться к нулю – а ненужное разрезание только отвлекает от главной идеи!

Иллюстрация из книги Стивена Строгаца, объясняющая
геометрический способ вычисления площади круга

Но в целом книжка дает толковое введение в предмет, и я бы даже рекомендовала ее в качестве школьного учебника – ну, или по крайней мере книги для внеклассного чтения. На мой взгляд, школьная программа по математике слишком перегружена однотипными механическими упражнениями и слишком бедна идеями. Я имею в виду ту программу, по которой училась я сама, но и сейчас вряд ли что-то изменилось.

Понятно, что программа формируется жестким императивом: предоставить учителям удобный способ проверки знаний, а что может быть проще, чем сопоставление одного-двух чисел – решений уравнения, найденных учеником – с тем, что напечатано в конце задачника? Более того, ведь эту процедуру можно легко перепоручить компьютеру – и гуляй, Вася! Но есть еще немало красивых математических идей, вполне доступных пониманию школьника, и знакомство с ними оказалось бы для него гораздо полезнее, чем бесконечное преобразование синусов в косинусы и обратно.

Страница рукописи Ньютона, на которой он находит площадь под гиперболой и использует свой степенной ряд, чтобы вычислить натуральный логарифм числа 1.1 с точностью до пятидесяти знаков

Спасибо уважаемому