Как струится поток доказательств

[egovoru]

Книжку Стивена Кранца о доказательстве в математике первый раз я прочла уже давно, а недавно перечитала, чтобы освежить в памяти (по ссылке бесплатно доступен ее полный английский текст, а вот тут можно скачать и русский перевод). Помню, что тогда она мне очень понравилась, а сейчас, увы, показалась уже не такой интересной – может, просто потому, что сейчас там уже нет ничего для меня нового? Главных мыслей у Стивена две: (1) что доказательство как было, так и остается цементом, скрепляющим здание математики, и (2) что ее развитие неизбежно приводит к изменению того, что мы понимаем под доказательством. Снова и снова на протяжении книжки он повторяет: «Доказательство в математике – это психологический прием, служащий для того, чтобы убедить отдельного человека или целую аудиторию в истинности определенного математического утверждения. <…> Чтобы достичь этого эффекта, оно должно опираться на язык, подготовку и ценности «получателя» доказательства».

Много внимания Стивен уделяет использованию компьютеров для поиска математических доказательств и тем проблемам, которые оно вызывает (эта его книжка вышла в 2011; интересно, что он думает о возможностях нынешних ИИ?). Но и без всяких компьютеров сложностей хватает – иллюстрацией служит история доказательства Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом. Уайлс тайно работал над ним много лет и обнародовал его на конференции в Кембридже (на что ему потребовалось три лекции, а письменное изложение его доказательства заняло 200 страниц). Доклад Уайлса произвел фурор, множество математиков по всему миру принялись изучать его труд – и… его коллеги по Принстонскому университету нашли там ошибку!

Администрация Принстона поступила беспрецедентно: никому ничего не сказала, а предоставила Уайлсу свободный год для исправления этой ошибки – и тот уложился в срок (при помощи своего аспиранта Ричарда Тейлора)! Сегодня, пишет Кранц, Великая теорема Ферма безусловно считается доказанной. Но у Уайлса было 200 страниц – а что, если бы их было 200 тысяч (что не редкость для компьютерных доказательств)? Компьютерное доказательство теоремы о четырех красках Кеннета Аппеля и Вольфганга Хакена занимает всего 400 страниц, но и сегодня, полвека спустя, нет полной уверенности, что оно не содержит ошибок.

Watch on YouTube

Интервью Эндрю Уайлса по случаю 30-летнего юбилея
его доказательства Великой теоремы Ферма (2023)

Читая книжку Кранца, я подумала, что проблемы сегодняшней математики похожи на проблемы сегодняшнего естествознания: их решение требует огромных массивов данных. И в том, и в другом случае без компьютеров не обойтись, но, задается вопросом Стивен, приносят ли компьютерные доказательства такое же чувство интеллектуального удовлетворения, как традиционные?

А еще меня чрезвычайно занимает, как математики определяют, решение каких задач (доказательство каких теорем) важно, а каких нет? Кранц пишет, что до сих пор не разрешенная проблема Гольдбаха – почтенная, но не особо интересная, а вот гипотезу Римана он считает самой важной из нерешенных задач (и он не одинок в этой оценке: гипотеза Римана – единственная задача, которая входит в список и проблем Гилберта, и «задач тысячелетия» Института Клэя). Можно ли объяснить человеку из публики, почему это так?

В предпоследней главе Кранц разбирает три из многих видов доказательств, используемых в математике: классическую дедукцию (основанную на modus ponens или modus tollens), доказательство от противного и математическую индукцию. Название последней еще в школе смутило меня тем, что, вообще говоря, это никакая не индукция, а та же дедукция, только двухстадийная.

А вот на доказательстве от противного стоило бы, мне кажется, остановиться более подробно, поскольку оно ведь сыграло в истории математики роль, аналогичную роли пятого постулата Эвклида. Доказательство от противного базируется на аристотелевском законе исключенного третьего, то есть, на утверждении, что всякое высказывание либо истинно, либо ложно. Как известно, отказ от этого утверждения, и, следовательно, от доказательства от противного, сподвигнуло Л.Э.Я. Брауэра на интуиционистскую схизму в математике. Мне, конечно, трудно оценить ее значение, но, насколько я могу судить, интуиционизм все же не оказался столь же плодотворным, как неэвклидовы геометрии. К сожалению, Кранц упоминает эту историю только мельком и замечает, что закон исключенного третьего «не имеет смысла в вычислительной математике (computer science)». Более сведущие среди вас, объясните, пожалуйста, почему? Мне-то по моему невежеству кажется, что значение ячейки памяти может быть либо 0, либо 1, a третьего не дано.

Демарш Брауэра мне интересен как свидетельство понимания, что аристотелевская логика – продукт договоренности, а не откровение свыше. Я слышала о таком варианте логики, когда высказыванию может быть присвоено не два, а три значения истинности: верно, ложно и не определено/неизвестно, а также о таком, когда истинность и ложность имеют градации, но Брауэр, насколько я понимаю, исходил из других соображений. Может, кто-нибудь из вас знает, из каких?