Единство же соединяет все капли в купный океан

[egovoru]

Формируемые школой представления о тех или иных областях интеллектуальной деятельности отличаются от того, чем эти области являются на самом деле – система образования консервативна. Нигде этот разрыв не велик так, как в математике: самые «свежие» затрагиваемые в школе темы были актуальными три столетия назад, а большинство их – чуть ли не три тысячелетия. Иэн Стюарт в своей книжке (я читала русский перевод, бесплатно доступный в сети) пытается заполнить этот пробел и рассказать о «настоящей» математике так, чтобы это было понятно даже школьнику.

Слово «бесконечность» в ее заглавии показалось мне лишним: там нет никакого последовательного обсуждения этой концепции. Подзаголовок точнее отражает ее содержание: Стюарт рассказывает о развитии математики от Цезаря Эвклида до наших дней. Столь широкий охват неизбежно приводит к весьма поверхностному изложению – но заинтересованный читатель найдет и более основательные книги. Книжка же Стюарта – именно для первого знакомства с целью пробудить интерес к предмету.

Мне особенно понравилась глава «Взросление алгебры», где автор прослеживает становление теории групп по работам Софуса Ли, Феликса Клейна, Вильгельма Киллинга и других.

«В 1872 г. Клейн стал профессором университета в Эрлангене, и в своей «Эрлангенской программе» 1872 г. он унифицировал практически все известные в то время виды геометрии и четко описал связи между ними, рассматривая геометрию через инварианты группы преобразований. Так геометрия стала ответвлением теории групп. <...> Точно так же, как координаты отражают связь алгебры с геометрией, инварианты выражают связь теории групп с геометрией. Каждый вид геометрии определяет группу всех преобразований, которые сохраняют соответствующие геометрические концепции. Верно и обратное: каждая группа преобразований определяет соответствующую геометрию, со своими инвариантами».

Этот мотив много раз звучит в книжке Стюарта: какие-то разделы математики, возкникшие и длительное время развивавшиеся независимо, в конце концов оказываются тесно связанными на более глубоком уровне. Уверена, обнаружение такой связи приносит не меньшее интеллектуальное удовлетворение, чем доказательство какой-нибудь знаменитой теоремы!

Основной текст у Стюарта перебивается врезками, кратко формулирующими, чтó то или иное открытие дало своим авторам, чтó оно дает нам, а также содержащими основные факты биографий упомянутых в основном тексте математиков. Читая эти врезки, невозможно в очередной раз не поразиться идиотизму человечества:

«В 1869 г. она начала изучать математику в Гейдельберге, но, поскольку в этот университет не принимали женщин, Софья ценой немалых усилий получила разрешение слушать курсы лекций неофициально. <...> К тому времени в немецких университетах уже позволяли женщинам обучаться на неофициальной основе с позволения их профессора, чем Нётер и пользовалась с 1900 по 1902 г.».

Мультик о знаменитой «бутылке Клейна» –
односторонней поверхности без края, «старшей сестре» ленты Мебиуса
(авторы – Ilkay Sakalli и Konstantin Weixelbaum с Факультета математики и компьютерных наук Свободного университета Берлина)

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Hello!
LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the following categories: История (https://www.livejournal.com/category/istoriya?utm_source=frank_comment), Литература (https://www.livejournal.com/category/literatura?utm_source=frank_comment), Наука (https://www.livejournal.com/category/nauka?utm_source=frank_comment), Образование (https://www.livejournal.com/category/obrazovanie?utm_source=frank_comment).
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.
Frank,
LJ Team

[egovoru.livejournal.com]

Все это годится, Фрэнк - но вообще-то это "Математика"!

[mejlaxs.livejournal.com]

Зато Нётер сам Гильберт помогал. По этому поводу сохранилась одна из его известнейших цитат: "Не понимаю, почему пол кандидата служит доводом против избрания её приват-доцентом. Ведь здесь университет, а не мужская баня!"

[a-konst.livejournal.com]

На всякий случай дополню, что Гильберт ей помогал в организационном и бюрократическом отношении, борясь за возможность ей преподавать, например.

[egovoru.livejournal.com]

Что характеризует его как весьма достойного человека, но почему же он должен был прикладывать специальные усилия для преодоления идиотизма системы? Заметьте, это ведь уже начало 20-го века, а не древняя Александрия какая-нибудь (про Гипатию, кстати, у Стюарта тоже есть врезка).

[egovoru.livejournal.com]

Прекрасно Гилбертом сказано! Конечно, порядочные люди помогали, как могли - но каково идиотство системы-то? И это ведь уже начало 20-го века, не древняя Александрия какая-нибудь :(

[kneiphof.livejournal.com]

Увы, но ничего удивительного. В западном мире женщины оставались гражданами второго сорта (по разным параметрам) до второй половины 20 века. Взять избирательное право (как самое символическое) — в Бельгии женщины его получили в 1948 году. Ну и много “мелочей”, типа права открывать банковский счет без согласия мужа. Не помню точно, но во многих странах это вообще только 1960е годы.

[a-konst.livejournal.com]

Боюсь, что я сейчас ляпну глупость, потому что дело было давно, занимался я этим всерьез уже больше 15 лет назад, восстанавливать все понимание по книгам и конспектам сейчас займет у меня пару часов, как минимум. Но очень хочется написать прям щас.

Как-то я еще аспирантом был на лекции Николая Вавилова (питерский алгебраист, недавно скончался, кстати, светлая память, очень хороший математик и учитель), и он, рассказывая о гомологиях, еще на лекции-введении сказал, что изучение того, что же именно представляет собой какая-то конкретная фактор-группа , в каждом интересном частном случае образует отдельную науку (!) .
Меня тогда это очень поразило.
Я над этим в фоновом режиме много размышлял и осознал в какой-то момент, что эрлангенская программа Клейна тоже частный случай этого общего принципа, потому что те самые инварианты групп преобразований и объекты, которые изучают разные геометрии, можно понимать, в каком-то смысле, через фактор-группы (этой самой группы преобразований).
То есть у нас получаются разные геометрии в зависимости от того, что мы берем ядром, то есть какие отличия считаем несущественными, по чему факторизуем.

[mejlaxs.livejournal.com]

То есть, мы берём какую-то самую-самую общую группу преобразований, а из неё строим фактор-группы? А какая тогда самая-самая общая группа? Непрерывные преобразования?

[a-konst.livejournal.com]

Надо думать. Навскидку кажется, что да, но надо проверять.

[a-konst.livejournal.com]

Для программы Клейна в буквальном виде вполне можно взять группу линейных операторов (возможно, в пространстве на единицу большей размерности - чтобы для проективной геометрии было место).
Но если мы хотим покрыть еще и топологию, то конечно этого не хватит.

Upd. Похоже, я не совсем прав. Может быть даже в каждом случае базовая группа будет своя. А с топологией вообще разговор отдельный.

[egovoru.livejournal.com]

Рада, что у Вас нашелся более образованный собеседник, потому что я-то даже не знаю, что такое "фактор-группа" :(

Насчет же "отдельной науки" Ваш уважаемый учитель, наверное, все же погорячился - скорее, это отдельные области математики?

[levgilman.livejournal.com]

Что за цитата про женщин?
Первая часть про Ковалевскую? А выглядит будто продолжение про одно лицо. Вот если не знать, что Нётер была Эмма.

[egovoru.livejournal.com]

Цитата про женщин - по одному предложению из двух разных жизнеописаний: одно - Софьи Ковалевской, другое - Эмми Нетер. Я подумала, что значительных математиков по имени Софья в указанное время было немного, так что будет ясно, о ком идет речь, даже без упоминания фамилии. Ну, и еще я решила, что фамилия "Нетер" знакома читателям этого журнала - и что они знают, что математик с такой фамилией была женщина. Насколько я вижу по Вашему комментарию, я не ошиблась в обоих случаях :)

[nakamura.livejournal.com]

Большое спасибо за ссылку на книгу Стюарта

[egovoru.livejournal.com]

Большое пожалуйста :) Эта книжка очень легко читается, поскольку представляет собой сугубо "гуманитарное" описание развития математики, без всяких формул и вычислений. Если соберетесь прочесть, расскажите здесь о своих впечатлениях, пожалуйста!

[malbiz.livejournal.com]

Его же старая очень хорошая (и несколько более именно о математике, а не ее истории) "Концепции современной математики". Вплоть до того, что любопытный стршеклассник вполне может понять идею доказательства теорем Геделя о неполноте.

[egovoru.livejournal.com]

"Его же старая очень хорошая (и несколько более именно о математике, а не ее истории) "Концепции современной математики""

Не эту ли книжку (https://math.ru/lib/book/djvu/koncepcii.djvu) Вы имеете в виду? Если да, то это тот же самый автор :)

[serge no (from livejournal.com)]

"Слово «бесконечность» в ее заглавии показалось мне лишним: там нет никакого последовательного обсуждения этой концепции."

Перевод неудачный. The infinite — это не бесконечность (infinity), а бесконечное, необъятное (прилагательное в роли существительного).

[egovoru.livejournal.com]

A в чем же смысловая разница между "бесконечностью" и "бесконечным" (существительным)? По мне, это то же и оно же, разве нет?

[zlata-gl.livejournal.com]

Спасибо
Я уже слышала это имя и у меня есть "Математические головоломки".
Посмотрела на Флибусте — там много чего есть.
Будет скачано и прочитано.

[egovoru.livejournal.com]

Вам эта книжка может показаться слишком поверхностной, она обращена к аудитории, которая о математике не знает вообще ничего.

[oleg-24.livejournal.com]

(https://ic.pics.livejournal.com/kwakin_misha/65622566/6061379/6061379_original.jpg)

[olnigami.livejournal.com]

Спасибо за видео. Мне встречалось упоминание бутылки Клейна у нескольких фантастов, но без толкового объяснения, что это такое. А с видео стало немного понятнее.

[egovoru.livejournal.com]

Проблема в том, что эта бутылка на самом деле существует только в четырехмерном пространстве, а то, что мы можем себе представить, это только ее как бы "фотография" ("погружение") в трехмерном. То, что мы видим ее самопересекающейся - "ручка" проходит через ее "стенку" - артефакт этого трехмерного представления!