Там бесконечность – только миг

[egovoru]

Среди всех чисел самые интересные – действительные. Имея единицу и правила арифметики, можно получить все рациональные числа, а добавив минус единицу и мнимую единицу – все соответствующие отрицательные и комплексные. Другое дело – число π: никакие манипуляции с единицами любого сорта тут не помогут! Каждое действительное число – уникально, недаром древние так их боялись. Когда Кантор продемонстрировал, что действительных чисел в некотором роде «больше», чем натуральных, это стало едва ли не самым значительным достижением во всей математике – по крайней мере, из тех, смысл которых легко понять простому смертному :)

Кантор построил и трансфинитную «лестницу бесконечностей» – придумал способ, как из любого бесконечного множества соорудить множество «еще более» бесконечное. Сломался он на попытках выяснить, является ли континуум – множество действительных чисел – ступенькой этой лестницы, следующей сразу за множеством натуральных чисел, или там есть что-то еще в промежутке? Гильберт считал эту проблему – известную как «гипотеза континуума» – настолько важной, что присвоил ей почетный номер один в своем списке. Гедель выяснил, что наличие промежуточного множества нельзя доказать в стандартной ZFC-аксиоматике, a через двадцать лет Пол Коэн установил, что нельзя доказать и его отсутствие.

Математиков такая ситуация не устраивает, но, похоже, они не могут договориться, как же быть. Ясно, что нужно принять какую-то дополнительную аксиому, но вот вопрос, что она должна утверждать: что такое промежуточное множество есть или что его нет? Как я поняла, дилемма в конце концов сводится к тому, разрешается ли строить бесконечности только канторовским способом (и тогда гипотеза континуума верна, промежуточной ступени нет) или еще и другим, более либеральным (и тогда она неверна). Первый вариант вроде бы должен повлиять только на саму теорию множеств, а вот второй возымеет далеко идущие последствия и для других разделов математики.

Немного найдется математических формул, настолько популярных, что стали надписями на футболках, но гипотеза континуума – среди них: предлагаю вашему вниманию John Carlos Baez Continuum Hypothesis Shirt :)

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Hello!
LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the category: Наука (https://www.livejournal.com/category/nauka?utm_source=frank_comment).
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.
Frank,
LJ Team

[egovoru.livejournal.com]

Годится, хотя "Математика" было бы лучше.

[hyperboreus.livejournal.com]

Ну да, когда у математиков закончились латинские и греческие буквы, они перешли на иврит ;)

[egovoru.livejournal.com]

Как я понимаю, это сам Кантор придумал использовать алеф, что кажется довольно нетривиальным: где Кантор, и где иврит?

[maiorova.livejournal.com]

Ничего себе у Джоан Баэз родственники...

[egovoru.livejournal.com]

Да, этот Джон Карлос - прямо-таки ее двоюродный брат (https://en.wikipedia.org/wiki/John_C._Baez) :)

[tijd.livejournal.com]

Вы вспоминали когда-то про детские книжки про науку.



Про теорию Кантора о бесконечностях я впервые узнал в школьном возрасте из книжки Наума Виленина, и она произвела неизгладимое впечатление https://tijd.livejournal.com/55849.html?thread=57897#t57897

[misha-b.livejournal.com]

Да, эта теория действительно впечатляет. В частности тот факт, что рациональных чисел столько же, сколько и натуральных, а вот действительных -- больше.

[egovoru.livejournal.com]

Увы, эта книжка прошла мимо меня, хотя вот книжка Виленкина о комбинаторике, видимо, мне попадалась. (Имени автора той я не помню, но много ли их было, детских книжек о комбинаторике? Моя, правда, была сборником задач - не помню, было ли там что-то кроме них?).

А про самого Кантора я сравнительно недавно прочла вот такую книжку (https://www.amazon.com/Mystery-Aleph-Mathematics-Kabbalah-Infinity/dp/0743422996), она показалась мне исключительно интересной.

[vermishell.livejournal.com]

Все это безобразие началось с того, что Кантор отверг Прокла)

[egovoru.livejournal.com]

А что же утверждал Прокл?

[timur0.livejournal.com]

На самом деле в математике не стоит вопроса, принимать ли аксиому континуума или ее отрицание — само по себе наличие/отсутствие множества несчетной доконтинуальной мощности не интересно. Принятие любой из этих альтернатив плохо, ибо оба отрицают некоторые "очевидности" (я когда-то писал об этом). С большей вероятностью эта проблема разрешится следующим образом: для какого-то перспективного направления потребуется ввести некоторые аксиомы и уже из них, побочным образом, будет следовать существование или отсутствие множества промежуточной мощности.

[egovoru.livejournal.com]

Очень интересный пост у Вас по ссылке, только сложноватый для меня. Но я, так же, как и Вы, представляю себе континуум в виде точек отрезка (а точнее, точек на числовой прямой - но еще Галилей доказал, что в отрезке столько же точек, что и на всей прямой).

А вот почему же "Принятие континуум-гипотезы также приводит к существованию противоречащих интуиции неупорядоченных счетного множества и континуума"?

"Человек не может помыслить и тем более поименовать одновременно бесконечное количество объектов, поэтому мощность множества явно за пределами его разума"

Это, надо полагать, все та же проблема "актуальной" бесконечности - в отличие от "потенциальной". Мне-то как раз и кажется поразительным, что мы (после Кантора) можем оперировать с актуальными бесконечностями, даже если не можем поименовать все их элементы (что такое "помыслить" - это отдельный вопрос!).

Позанудствую

[ald1976.livejournal.com]

1. Не имея действительных чисел комплексных не получить. Можно получить только Q[i], то есть все числа вида a+bi, где a и b - рациональные.

2. Практически любое известное число можно получить из достаточно простых "манипуляций с единицами". Например

pi = 4*(1-1/3+1/5-1/7+....) . То, что таким образом считать пи еще глупее, чем построением многоугольников - это другой вопрос, равенство от этого верным быть не перестает.


3. Комплексных чисел люди боялись намного дольше, чем действительных. А действительными неявно пользовались еще с античности, отсутствие строгой конструкции не смущало.

Re: Позанудствую

[egovoru.livejournal.com]

"Не имея действительных чисел комплексных не получить"

Верно, но обратите внимание, что я ведь написала "соответствующие" комплексные числа. Вообще говоря, надо было написать "соответствующие мнимые", но я не захотела повторять одно и то же слово дважды. Я хотела сказать, что "направление" числовой оси и ее "внутренняя структура" - это разные вещи. Понятия отрицательного и мнимого числа - это описание направления, а вот понятие действительного числа - описание внутренней структуры числовой оси.

"pi = 4*(1-1/3+1/5-1/7+....)"

Объект с правой стороны равенства все же обычно не называют "числом", правда?

"Комплексных чисел люди боялись намного дольше, чем действительных"

Не знаю, почему. Мне кажется, после изобретения Декартом координатной плоскости концепция комплексного числа сделалась абсолютно понятной даже школьнику.

"А действительными неявно пользовались еще с античности, отсутствие строгой конструкции не смущало"

Греки, безусловно, знали, что такое диагональ квадрата, но они, как я понимаю, отказывались считать ее числом.

[serge no (from livejournal.com)]

Каждое действительное число – уникально, недаром древние так их боялись.

Что, даже натуральных чисел (которые тоже действительные) боялись?

[egovoru.livejournal.com]

Я имела в виду те действительные, которые не натуральные и не рациональные :)

Кстати, я только сравнительно недавно поняла, что рациональные числа называются так не потому, что они подвластны разуму, а потому, что они - продукты деления (натуральных чисел). А то, что одно и то же слово (ratio) обозначает у нас и разум, и продукт деления, говорит о нас нечто весьма интересное, правда?

[a-fainshtein.livejournal.com]

Канторовская теория множеств действительно производит сильное впечатление, но надо сказать, что подавляющее большинство математических проблем не зависят от континуум-гипотезы. Когда одному математику рассказали про результат Пола Коэна он сказал: каков вопрос — таков ответ.

[egovoru.livejournal.com]

"подавляющее большинство математических проблем не зависят от континуум-гипотезы"

Боюсь, мне и близко не хватает образования, чтобы судить об этом самостоятельно, но в статье по ссылке пишут:

"Meanwhile, forcing axioms, which deem the continuum hypothesis false by adding a new size of infinity, would also extend the frontiers of mathematics in other directions". Я, однако, не представляю себе, что же такое эти forcing axioms, и каковы конкретно результаты их применения?

Еще, как я поняла, эта проблема имеет отношение к так называемым large cardinals, о которых я тоже имею только самое смутное представление (а точнее, не знаю ничего, кроме названия):

"L is too small to encompass “large cardinals,” infinite sets that ascend in a never-ending hierarchy, with levels named “inaccessible,” “measurable,” “Woodin,” “supercompact,” “huge” and so on, altogether composing a cacophonous symphony of infinities. Discovered periodically over the 20th century, these large cardinals cannot be proved to exist with ZFC and instead must be posited with additional “large cardinal axioms”."

[le-ra.livejournal.com]

Иррациональный страх перед π на самом деле существует! Я в этом убедился, когда на младшую перестала действовать стандартная угроза родителей "Считаю до трех!" Однажды я вместо бесконечных двух с половиной и двух три четверти пригрозил, что буду считать до π! Не дошел даже до 3,1415 - все было сделано, как надо.

С первым апреля! :)

[egovoru.livejournal.com]

В замечательной книжке "Путешествия по Карликании и АльДжебре" Владимира Левшина, которая произвела на меня неизгладимое впечатление в детстве, был персонаж - Мнимая единица, которая все время приговаривала: "И мнимая единица на что-нибудь пригодится!". Твой же пример ясно показывает, что и пи может оказаться весьма полезным :)

[109.livejournal.com]

Мне до сих пор кажется, что diagonalization procedure — это какой-то мошеннический трюк :)

[egovoru.livejournal.com]

А мне, наоборот, страшно нравится, что для такого важного доказательства вовсе не надо знать никаких аксиом или теорем, достаточно простого здравого смысла :)

Мир конечен?

[yoginka.livejournal.com]

Может, Вы заметили, что я предпочитаю включаться в дискуссию, когда основные страсти улеглись :)
Хочу к сказанному здесь добавить замечание: весьма возможно, что все эти игры с бесконечностями закончатся на наших глазах. Хотя мы до конца не сможем быть уверенными, есть ли бесконечности того или иного рода в мире, но компьютеризация всего, что только можно (и даже нельзя) может привести к тому, что мир будет считаться дискретным и конечным во всех отношениях. Вместо компактно выражаемых законов, вовлекающих действительные числа, всюду будут гигантсткие таблицы и корреляции. Да, для людей все это не будет привлекательно, но люди уже вытесняются ото всюду.

Re: Мир конечен?

[egovoru.livejournal.com]

Ну, я-то предпочитаю думать о математических бесконечностях как о чисто умственных, идеальных конструкциях, без всякого отношения к физической реальности. А установить, конечен или бесконечен физический мир, нам все равно никогда не удастся - это ведь было бы примерно то же самое, как установить, существует ли Бог :) О том, откажемся ли мы от непрерывных функций для описания физического мира, заменив их таблицами, я судить не берусь. Мне-то такие функции кажутся гораздо компактнее, но, может, на каком-то этапе это и перестанет быть актуальным.

А представляя себе числовую прямую (т.е. множество действительных чисел в геометрическом выражении), я не могу отделаться от ощущения, что с ней связаны две разные бесконечности, и это не различие между актуальной и потенциальной, а нечто совсем другое. Бесконечную прямую можно получить, наращивая конечный отрезок с концов, и это будет как бы "внешняя" бесконечность, а можно получить, деля отрезок (например, пополам), и это будет как бы "внутренняя" бесконечность. Что же, это на самом деле разные бесконечности, или мне просто не хватает ума/образования понять, что это одно и то же?

И не читайте до обеда советских газет

[ald1976.livejournal.com]

Сколько раз зарекался разговаривать на мало-мальски специальные темы в ЖЖ, но характер ненордический нестойкий.

В итоге хозяйка журнала окончательно утратила связь между векторами из школьного учебника математики и векторами здорового человека, дойдя до того, что "вектор - это метафора".

Желаю ей все же восстановить эту связь [в школьном учебнике нет фатальных ошибок, есть лишь всяческие корявости, вроде телеги впереди лошади] и разобраться, кто на ком стоял, но я самоустраняюсь из этого процесса. Скажу только, что википедия и вольфрам совсем негодные точки входа в данную тему. Их можно адекватно воспринимать, только заранее зная изучаемый вопрос.

Re: И не читайте до обеда советских газет

[egovoru.livejournal.com]

"вектор - это метафора"

Я просто имела в виду, что вектор, судя по Вашим словам, не является фундаментальным понятием, а определяется через другие, более фундаментальные :)