Потому-то, словно пена, опадают наши рифмы

[egovoru]

Рассуждая о познавательной ценности математики, Юрий Манин выделяет три способа ее использования: как модель, как теорию и как метафору.

Математика как модель – это я хорошо понимаю. Математическая модель позволяет нам предсказать, что произойдет в таких-то условиях – вместо того, чтобы набивать себе шишки, выясняя это опытным путем. Но только вот познавательной, или, если угодно, объяснительной ценностью математические модели природных или общественных явлений вряд ли обладают – ведь, как показывает пример квантовой механики, в одну и ту же количественную закономерность можно вкладывать совершенно разные смыслы. Судя по цитате, приведенной Маниным по другому поводу, это знал Шопенгауэр: «Где начинается вычисление, там кончается понимание» :)

Под математикой как теорией Манин подразумевает платонизм: то есть, веру в независимое от сознания существование математических истин. В этом смысле характерно то, как он объясняет, что такое «алгоритм» (выделение мое):

«Алгоритм – это текст, который в определенных обстоятельствах может привести к однозначному развитию событий – процессу выполнения алгоритма. Фермент, катализирующий специфическую реакцию, устав караульной службы или программа ЭВМ – примеры алгоритмов в этом широком смысле слова». То есть, у него получается, фермент – это текст :)

Что такое «математика как метафора», Манин объясняет на примере ИИ. Мы не знаем, как работает мозг, поэтому не можем считать ИИ моделью мозга. Тем не менее, мы можем использовать ИИ «для порождения осмысленных догадок о структуре и механизмах деятельности центральной нервной системы» (подлежащих экспериментальной проверке, добавлю я от себя). То же самое, пишет Манин, происходит и при попытках создания машинного перевода: здесь математика выступает метафорой естественного языка.

Я, правда, не поняла, почему метафору нельзя считать просто плохой (т.е., весьма приблизительной) моделью? Впрочем, и сам автор не настаивает на абсолютном разделении этих функций математики; он предлагает свою классификацию только как «удобный способ организации исторических данных».

Процесс математического моделирования
по версии неизвестного художника с сайта Рixabay :)

Спасибо уважаемому cheralpa за информацию о книге Манина.

Comments

[submagic.livejournal.com]

>> Я, правда, не поняла, почему метафору нельзя считать просто плохой (т.е., весьма приблизительной) моделью?

Потому что моделирование подразумевает аналогию ПРОЦЕССА. «Примерно то же самое, не только по результату, но и по пути его достижения.»

Метафора (интересно здесь этот термин употреблён...) — только результата, ПРОЦЕСС может быть совершенно иным.

Дельфин есть метафора акулы, но отнюдь не модель.
Летучая мышь есть метафора птицы, но отнюдь не модель.

Геометрическое решение геометрической задачи — модель. Алгебраическое решение её же — метафора. То есть, метафора может моделировать РЕЗУЛЬТАТ даже лучше модели (удобнее, точнее... ). Но внутренняя механика там иная.

[egovoru.livejournal.com]

"Метафора (интересно здесь этот термин употреблён...) — только результата, ПРОЦЕСС может быть совершенно иным"

Похоже, что общепринятое определение метафоры вовсе этого не подразумевает. Вот, например, что пишет Википедия (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%B0%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%B0) (выделение мое):

"В метафоре можно выделить 4 «элемента»:

1. Категория или контекст,
2. Объект внутри конкретной категории,
3. Процесс, каким этот объект осуществляет функцию,
4. Приложения этого процесса к реальным ситуациям, или пересечения с ними."

"Геометрическое решение геометрической задачи — модель. Алгебраическое решение её же — метафора"

А это уж мне совсем непонятно - поясните, пожалуйста, подробнее! Я понимаю, что Вы имеете в виду: сходство между двумя объектами может быть фундаментальное и поверхностное, но мне не кажется, что слова "модель" и "метафора" годятся для обозначения этих случаев. Кроме того, если речь идет о природных объектах, мы же никогда не можем знать, насколько фундаментально сходство ними и нашими их моделями.

[submagic.livejournal.com]

>> мне не кажется, что слова "модель" и "метафора" годятся для обозначения этих случаев

Да, возможно, терминология не очень удачная (если я вообще правильно понял Манина). Но я увидел это для себя так:

МОДЕЛЬ — результат достигается максимальным сходством на всех этапах, включая процесс. Так сказать, «тупо в лоб» — как люди ранее строили махолёты-орнитоптеры, пытаясь подражать птицам (да и сейчас строят иногда). Сходство может быть буквальным, может структурным или символическим, но оно презумпционально: «делаем максимально близко и похоже, настолько, насколько это, как минимум, не вредит результату».

МЕТАФОРА — результат достигается любым способом, обеспечивающим его сходство с оригиналом. Путь, механизм — это уже неважно. Самолёт как «стальная птица», «мессершмидты, как вороны разорвали на рассвете тишину» © , ну и т.д. Самолёт крыльями не машет, но летает. И для людей он оказазался предпочтительней орнитоптера.

С этой точки зрения модель можно рассматривать как частный случай метафоры. Метафора шире — это менее жёсткая аналогия, для которой важно лишь сходство результата.

Крайний случай моделирования — точное буквальное копирование (стать птицей, чтобы летать, как птица). Крайний случай метафоры — обход результата вообще (перемещение из точки А в точку Б мгновенно, безо всякого полёта: «в мгновение ока примчался, как птица»).

[vlkamov.livejournal.com]

Модель-теория позволяет вычислить результат.

Метафора дает лишь догадки.

[bluxer.livejournal.com]

Только результат часто живет сам по себе, в платоновском мире, а не в реальном. Иначе все бы уже бросили свои занятия и побежали математику учить.
А так мы видим, что не все математики счастливы и бывает, переключаются на другие дисциплины. Историю, например.

[egovoru.livejournal.com]

Но ведь ИИ мы вроде бы собираемся создавать именно для результатов, а не просто догадок?

[trevor-mckinney.livejournal.com]

За эту семантически-платоническую позицию Манина его страстный оппонент, ныне покойный математик Арнольд очень сильно поносил. Что мол таким подходом только развращаются умы молодых математиков. Что это бурбакизм, проросший на российской почве и усиленный местным фанатизмом.

Но мне позиция Манина гораздо симпатичнее, чем Арнольда)

[egovoru.livejournal.com]

Ну, в этой конкетной статье, а может, и во всей книжке (я ее еще не прочла целиком), Манин на платонизме отнюдь не настаивает, а просто перечисляет его в ряду исторических представлений. Только, мне кажется, он напрасно закрепляет за платонической сущностью слово "теория", потому что это слово широко используется и для обозначения плодов нашего ума.

Разумеется, представления о независимом от сознания существовании мат. объектов - это совсем особый взгляд, но, если мы его пока не будем рассматривать, показалось ли Вам убедительным разделение на "модель" и "метафору"?

[greygreengo.livejournal.com]

Сферически-симметричная метафора модели теории математики в вакууме.

[noname-rambler.livejournal.com]

Про фермент он скорее всего ошибается, программа ЭВМ — это да, это пример абсолютного алгоритма, за рамки которого невозможно выйти. А вот устав караульной службы очень даже можно нарушать — когда начальство не видит конечно...

[submagic.livejournal.com]

Уместней не фермент, а РНК вируса, тогда уж.

[egovoru.livejournal.com]

Фермент - не текст хотя бы потому, что это молекула. Да, мы можем записать последовательность аминокислот фермента, как и любого белка, в виде текста, но этот текст отнюдь не будет способен катализировать те реакции, которые катализирует сам фермент. Иными словами, здесь у автора произошла подмена местности ее картой. Мне это показалось весьма характерной "фрейдисткой" оговоркой, принимая во внимание, что автор склоняется к платонистским взглядам - хотя в этой конкретной статье он их и не отстаивает :)

Что же касается нарушения алгоритма, то, мне кажется, это не может служить его определяющим признаком: ведь, в принципе, нарушить можно что угодно, было бы желание :)

[odvbo.livejournal.com]

Действительно, "метафора" как приведённый пример (ИИ) ничем не отличается от моделирования. Метафорой в обычном смысле подразумевают какие-то неожданные и парадоскальные сближения.

Мне кажется, фраза про то, что "где начинаются вычисления, там кончается понимание", видимо, имеет смысл, что "вычисления могут идти только после понимания". После того, как что-то понято и дальше понимать нечего, вот тогда можно начинать вычислять.

[egovoru.livejournal.com]

Если мы считаем, что математические объекты - плоды нашего ума, то разница между метафорой и моделью стирается: существует физическая реальность и наши представления о ней, в том числе выраженные на языке математики (иными словами, "местность" и "карта"). Если же мы считаем, как, кажется, считает сам автор, что мир математических объектов существует независимо от нашего сознания, то тут возникают всякие интересные вопросы о том, как этот мир соотносится с физическим миром и с миром идей у нас в голове. Но Манин, кажется, так глубоко в философию все же не вдается - по крайней мере, не в той части книжки, которую я уже прочла.

Будучи далека от математики, я, к сожалению, понимаю не все, что он пишет. Например, такой пассаж:

"Некоторые из наиболее влиятельных исследовательских программ
последних десятилетий представляли собой прозрения относительно
структуры платоновской реальности. Андре Вейль предсказал суще-
ствование теорий когомологий для алгебраических многообразий
в конечной характеристике. Гротендик их построил, навсегда изменив
наше понимание взаимосвязей между непрерывным и дискретным."

Понимаете ли Вы, о чем он говорит в последнем предложении? Если да, то возьметесь ли Вы объяснить "на пальцах", о чем идет речь?

[noname-rambler.livejournal.com]

То есть сначала "схватывается" в "метафоре" (метафора мне думается здесь эвфемизм мифа), главнейшим свойством которой является её цельность (единство), а уж потом идут вычисления частей схваченного в метафоре единого целого? (Чистейший платонизм конечно...)
А не наоборот... Когда сначала "от чистой доски" вычисляются части и из полученных результатов пытаются склеить "метафизическими соплями" целое. Или, чтобы быть последовательными, отказываются от попыток склейки — и тогда всё, что мы имеем — кучу разноцветных стёклышек в калейдоскопе, которые можно свободно комбинировать, "меняя угол зрения" — "авось что и получится", например — тот же Искусственный Интеллект.
... а вот не получится:)

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

К математике в целом. Недавно вы говорили только о том, что существуют только физические взаимодействия. Так вот, если мы скажем, что физические представления о мире являются просто математической моделью, то отсюда следует, что утверждение о существование только физических взаимодействия также следует объявить только моделью и признать, что можно представить себе другие модели.

[egovoru.livejournal.com]

Честно сказать, я не уловила, о чем Вы спрашиваете, но в любом случае я вряд ли когда-нибудь утверждала, что "существуют только физические взаимодействия" - видимо, Вы меня с кем-то путаете. Я вообще опасаюсь употреблять слово "существование", потому что мне не очень понятно, что мы при этом имеем в виду.

[steblya-kam.livejournal.com]

Метафора не является моделью по очень простой причине - модель это то, что воспроизводит с некоторой приблизительностью оригинал, а у метафоры нет такой цели, она возникает там, где мы субъективно выделяем элементы сходства. "Ножка стула" - не потому, что цель ножек стула изображать ноги животного с той или иной степенью достоверности, а потому, что они когда-то кому-то показались похожими на ноги. В данном случае метафора стёртая, но живая метафора работает так же.

[egovoru.livejournal.com]

"модель это то, что воспроизводит с некоторой приблизительностью оригинал, а у метафоры нет такой цели, она возникает там, где мы субъективно выделяем элементы сходства"

Вот именно. А создавая ИИ, мы все же пытаемся в каком-то смысле воспроизвести оригинал - во всяком случае, его функцию, пусть и другим способом. Так что слово "метафора" кажется мне здесь не слишком подходящим.

Более того, приводить пример ИИ в контексте обсуждения роли математики тоже не кажется мне удачным ходом. Ведь ИИ - это техническое устройство; лучше бы говорить вовсе не об ИИ, а об "искусственном мозге", потому что именно его и пытаются создать те, кто этим занимается.

Математика же сама по себе не занимается созданием никаких технических устройств; математика - это умозрительные манипуляции с умозрительными же объектами. Ну, а приложения математики, будь они инженерные, естественно-научные или гуманитарные, как мне кажется, все прекрасно укладываются в понятие "моделирование". А?

К вопросу о моделях и метафорах

[submagic.livejournal.com]

https://sibved.livejournal.com/277572.html

Re: К вопросу о моделях и метафорах

[egovoru.livejournal.com]

В том посте собраны в одну кучу очень разнородные случаи :)

[alex-new-york.livejournal.com]

“как показывает пример квантовой механики, в одну и ту же количественную закономерность можно вкладывать совершенно разные смыслы”

А какие именно примеры Вы имеете в виду?

[egovoru.livejournal.com]

Например, копенгагенская против многомировой интерпретации.

[alex-new-york.livejournal.com]

Мне кажется, что отличие модели от метафоры в том, что модель ставит целью упрощенно (чтобы было проще изучать) воспроизвести ключевые характеристики изучаемого объекта, а метафора является лишь выразительным символом объекта, заведомо не претендующим на воспроизведение ключевых его характеристик.

В этом смысле математические объекты ценны именно как модели реальных. Как метафоры же они обычно интересны разве что самим математикам :)

[egovoru.livejournal.com]

"метафора является лишь выразительным символом объекта, заведомо не претендующим на воспроизведение ключевых его характеристик"

Меня смущает в манинском примере метафоры то, что ИИ - это все же не математический объект, а техническое устройство (и более правильно его было бы называть не "искусственный интеллект", а "искусственный мозг"). Соответственно, когда мы задумываемся о том, как соотносится ИИ и настоящий мозг, мы уже забываем об исходном вопросе - в чем заключается ценность (прикладной) математики? На мой взгляд, ее всю можно охватить словом "моделирование" (физической реальности). А?