Мечтой увенчанный язык – плохой товарищ, где нет чисел

[egovoru]

Числа – может быть, самый поразительный инструмент нашего мышления: пифагорейцы недаром им поклонялись. Психологи интенсивно изучают «чувство числа», и один из них написал презанимательную книжку с таким названием (ее текст полностью доступен в сети).

Как выяснилось, абстрактное понятие числа есть уже у крыс, и эксперимент, показавший это – чрезвычайно прост и элегантен. Сначала крыс приучили нажимать на левый рычаг, когда они видят две вспышки света или слышат два звонка, и на правый, когда четыре. А потом им предъявили две вспышки и два звонка – и они нажали на правый рычаг, абстрагировавшись от природы стимула! (Правда, мне осталось непонятным, почему они не кинулись к левому сразу после второй вспышки – но, видимо, их удерживали за загородкой, пока они не просмотрят и прослушают всю программу).

Но вот что интересно: «чувство числа» у животных не дискретное, а непрерывное! Для его описания исследователи предлагают модель «аккумулятора» – например, сосуда с водой, на котором есть отметки уровня. Животные определяют числа по тому, насколько близко «вода» подходит к той или иной отметке.

У нас такая система тоже есть, но ее дополняет другая, непосредственно связанная с языком. Когда нас просят запомнить произвольную последовательность цифр, предел наших возможностей – в среднем семь элементов. Но, как выяснилось, этот предел зависит от... того языка, на котором мы разговариваем – точнее, от того, насколько длинными словами мы называем цифры! Для говорящих на многосложном валлийском этот предел меньше, чем для говорящих на английском, а больше всех он – у китайцев, у которых слова для обозначения цифр самые короткие. К тому же у китайцев нет отдельных слов для порядков: «двадцать» у них – «два-ноль», а «сто двадцать» – «один-два-ноль». Полагают, что это – один из факторов, позволяющих китайским школьникам неизменно побеждать на международных математических олимпиадах.

А помните, как считает чукча из анекдота: «Один, два, три, много»? Опыт показал, что именно так считаем и все мы. Испытуемым предлагали карточки с разным числом кружочков и замеряли время, нужное для их подсчета. Один, два и три требуют одинакового времени, а после трех время начинает линейно расти в зависимости от величины числа. Иными словами, после трех мы переходим на другой способ счета! Сами наши цифры, даже «арабские», тоже свидетельствуют об этом:

Когда смотришь на такую картинку (из статьи в Британской энциклопедии), сразу видишь, что наши первые три цифры – просто-напросто одна, две и три горизонтальные черточки, проведенные единым росчерком пера; а если не знать об их происхождении,
то никогда и не догадаешься :)

Comments

[hyperboreus.livejournal.com]

Тут стоит еще вспомнить грамматику. Во многих языках существовало двойственное число, а в некоторых - и тройственное. А вот четверственного уже нет )))

[nebos-avos.livejournal.com]

Как понимать "непрерывное чувство числа"?

[gomazkov.livejournal.com]

Мало найдётся столь нематематических людей, как я (хотя - не сосчитаешь ведь)), но по моему - чисто гуманитарному ощущению - действительно: с четырёх начинается не только новый счёт, а и новая жизнь.
Три это устойчиво, а больше - уже качается.)

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Это называется numerosity и не стоит преувеличивать. На эту тема есть статья

Simon Conway Morris
It all adds up .. Or does it? Numbers, mathematics and purpose
Studies in History and Philosophy of Biological and Biomedical Sciences

где достаточно подробно рассматривается numerosity и в заключение говорится следующее:

"The question of whether animals actually have the foggiest idea
of what a number actually is, let alone that 9 follows 8 as surely as night does day, is by no means the only area where an apparently common-sense view of things may end up running into the sands."

[kostya-h.livejournal.com]

«Один, два, три, много»? Опыт показал, что именно так считаем и все мы.
Я где-то читал, что так считают т.ск. некоторые примитивные народы. Если точнее, у них есть числа (их наименование) 1,2,3, а дальше уже просто «много». И тут (в свете цитаты выше) получается, что у нас, по сути, нет отличий от них.

[nebos-avos.livejournal.com]

Чем меньше число, тем больше у него семантический вес - тем, стало быть, богаче материал для гуманитария.

[gomazkov.livejournal.com]

Верно, но меньше трёх - уже скудно.

[bluxer.livejournal.com]

Непрерывно.

[nebos-avos.livejournal.com]

Ну как же скудно?! А Единое у неоплатоников? А дуальные оппозиции?

[gomazkov.livejournal.com]

Ну уж тогда можно ограничится тем, из чего были сотворены ангелы и видимая Вселенная.

[a-gorb.livejournal.com]

С числами много интересного.

1. Число абстрактно. Ребенку показывают пять яблок и говорят, что это 5. Показывают пять палочек и говорят, что это тоже 5. И там, и там – 5. Число 5 – это абстракция. А потом человек складывает километры с килограммами. И ведь вполне законно складывает, ведь числа это абстракция, ведь совершенно все равно, чего пять – яблок или палочек. Но ведь километры с килограммами складывать как-то нелогично. А значит число это не совсем абстракция, и далеко не абстракция. Дело в том, что до числа идет более базовое понятие: больше – меньше. Вот то, что можно сравнивать, то и можно складывать.

2. Арифметика, т.е. операции с целыми числами существует несколько тысяч лет. Но в отличие от других отраслей математики арифметика математикой не являлась. Не являлась в том смысле, что она не была дедуктивной, т.е. логически выводимой из постулатов логической системой. Аксиомы арифметики были сформулированы всего 150 лет назад. И немедленно последовала расплата в виде теорем Геделя:)

3. Некоторые верят в абсолютность правил арифметики. Например, один собеседник в ЖЖ утверждал, что 2+2=4 является истинной и никогда не бывает иначе. Я предложил ему сложить две капли воды и две капли воды и получить одну каплю. Тогда он сказал, что надо складывать объемы. Тогда я предложил сложить два литра спирта с двумя литрами воды, а результат посмотреть в диссертации Менделеева.

4. Числам много лет. А вот число «ноль» во много раз моложе других чисел. В записи чисел типа римской ноль вообще не нужен. В позиционной записи, типа нашей десятичной системы, ноль есть просто обозначение, что в этом месте ничего нет, т.е. это не ноль, а пробел по своей сути. Ноль как число возникает в Индии только где-то в 9-ом веке н.э.

5. В античности совершенно четко отделяли число и величину и четко понимали разную природу этих понятий. Одну и туже теорему порой доказывали дважды – отдельно для чисел, отдельно для величин. Сейчас эти понятия часто сваливают в одну кучу. А напрасно.

6. Меня удивляет и я не могу этого понять, но в античность с размаху налетела на проблему непрерывности. По-другому эту проблему можно назвать как проблему действительного числа. И не смогла эту проблему решить, хотя все остальное с числами делать умела. Создается ощущение, что перед мыслителями античности действительно стояла стена, которую они не смогли преодолеть. (Это мы с вами уже немного обсуждали http://a-gorb.livejournal.com/91671.html)

7. Расширение понятия числа, которое каждый раз встречало некое непонимание и неприятие – отрицательные и мнимые числа.

8. Один, два, три, много – наводит на известный парадокс, озвученный Остером в сериале «38 попугаев» – а с какого числа орехов начинается куча.

[alon_68]

О, теперь понятно, почему наши арабские цифры отличаются от арабских арабских цифр :)

[egovoru.livejournal.com]

Да, это еще одно свидетельство в пользу того же вывода.

[egovoru.livejournal.com]

"Мало найдётся столь нематематических людей, как я"

Автор книжки на основании многолетних исследований пришел к убеждению, что нематематических людей не бывает :) Он считает, что детей уже в самом нежном возрасте запугивают математикой так, что они начинают ее ненавидеть - а на таком эмоциональном фоне, конечно, трудно достичь каких-то успехов :(

[egovoru.livejournal.com]

"И тут (в свете цитаты выше) получается, что у нас, по сути, нет отличий от них"

Да, именно. Более того, сам факт, что такие народы есть - еще одно свидетельство того, что счет от одного до трех и от четырех до бесконечности задействует какие-то совершенно разные механизмы.

[egovoru.livejournal.com]

"Чем меньше число, тем больше у него семантический вес"

Самое интересное, что эта зависимость явно нелинейна: скажем, число семь определенно имеет гораздо большее значение для нашей культуры, чем числа 4, 5 и 6. Мы это уже немного здесь обсуждали (https://egovoru.livejournal.com/82640.html).

[egovoru.livejournal.com]

"Это называется numerosity и не стоит преувеличивать"

Да, автор этой книжки оперирует именно этим термином (я просто решила оставить его за кадром):

"Likewise, rats have to resort to approximate counting without words or digital symbols. The difference with our verbal counting is so enormous that we should perhaps not talk about "number" in animals at all, because by number we often imply a discrete symbol. This is why scientists, when they describe perception of numerical quantities, speak of "numerosity" or "numerousness" rather than number. The accumulator enables animals to estimate how numerous some events are, but does not allow them to compute their exact number. The animal mind can retain only fuzzy numbers".

[egovoru.livejournal.com]

Этот вывод был сделан на основании изучения способности животных определять, какое из двух чисел больше. Скажем, шимпанзе показывают два блюдца с разным числом кусочков шоколада и предлагают выбрать один из них (предполагается, что обезьяна заинтересована в том, чтобы выбрать блюдце с большим числом вкусностей).

Оказалось, вероятность выбора большего числа зависит от того, насколько велика разница между двумя числами: обезьяна в 100% испытаний выбирает 6, если ей предлагают 6 и 2, но, если ей предлагают 6 и 5, вероятность выбора большего числа снижается. Кроме того, она снижается и тогда, когда предлагают 26 и 22 (т.е., когда разница между числами та же, но сами числа больше). У нас тоже проявляются эти две закономерности, а вот у компьютера, оперирующего дискретными величинами, их не обнаруживается.

[egovoru.livejournal.com]

"А значит число это не совсем абстракция, и далеко не абстракция"

Автор книжки описывает очень интересного пациента с повреждением в определенном участке коры, который был не в состоянии сказать, сколько будет 4, деленное на 2. Но, когда ему дали в руки четыре конфеты и попросили поделить их поровну между двумя детишками, он безошибочно осуществил эту операцию :)

"Аксиомы арифметики были сформулированы всего 150 лет назад"

Автор упоминает аксиомы Пеано и говорит, что они не позволяют отделить натуральные числа от других мат. объектов, которые тоже описываются этими аксиомами, но натуральными числами не являются. По его словам, вообще невозможно найти такую систему аксиом, которая бы исключила эти посторонние объекты.

Я не поняла, имеет ли он в виду именно теорему Геделя, или какие-то еще ограничения. Т. Геделя ведь описывает систему, где определены арфметические действия, а здесь мы говорим еще только о самом определении (натурального) числа, т.е. вроде бы находимся на еще более ранней стадии. Или все-таки арифметические действия автоматически следуют из определения числа?

Статья (https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms#Formulation) в Вики ссылается на некую "теорему компактности": "Из теоремы компактности следует, что существование нестандартных элементов (т.е., объектов, удовлетворяющих аксиомам Пеано, но не являющихся натуральными числами - расшифровка моя) не может быть исключено в логике первого порядка". Другая статья, однако, пишет, что логика первого порядка вообще не может адекватно описывать системы, содержащие бесконечное число элементов (как натуральный ряд чисел), так что я окончательно запуталась :(

Автор в любом случае активно выступает против попыток опираться исключительно на аксиомы по крайней мере при обучении математике в школе. Он думает, что гораздо эффективнее использовать те интуитивные представления, которые у ребенка есть от природы.

"каждый раз встречало некое непонимание и неприятие – отрицательные и мнимые числа"

Мне кажется, главный прорыв в этом отношении совершил Декарт, когда изобрел систему координат. С помощью этого геометрического приспособления и ноль, и отрицательные, и комплексные числа приобретают совершенно понятный смысл :)

[gomazkov.livejournal.com]

Возможно.

[noname-rambler.livejournal.com]

У Парменида. В одноимённом диалоге Платона. Он берёт это Единое – и, фокус-покус, "Большой Взрыв", начинает кружиться Вселенная. Третий мир им. Поппера-Пенроуза.
Дух захватывает.

[noname-rambler.livejournal.com]

Число семь – первое число, которое не является суммой трёх квадратов натуральных чисел (0,1,2 и т.д.)

[noname-rambler.livejournal.com]

Такой эксперимент сейчас произвёл (невольно, под впечатлением от Вашего поста).
Лежит ниточка с бусинками – интересно стало, сколько бусинок я могу увидеть (именно увидеть, а не пересчитать!).
Так, одна бусинка, две, три... Четыре – тоже могу видеть, что четыре, не пересчитывая, пять – да, смогу, шесть ... пожалуй... кстати, а сколько всего бусинок то на ниточке – пересчитываю: одна, две, три, четыре ... восемь. Восемь бусинок, гарантировано – не вижу сразу, только пересчитав. Ну, или – "четыре и четыре", 4+4=8

[bluxer.livejournal.com]

Не являлась в том смысле, что она не была дедуктивной
Разве 2*2=4 не дедуктивный вывод?

[steblya-kam.livejournal.com]

Для какой "нашей"? Это на самом деле интересный вопрос. Сакральность числа 7 тесно связана с лунным календарём и 7-дневной неделей, а, как показал Л.С. Клейн, 7-дневная неделя - подзнеантичное нововведение, а не "индоевропейский календарь" (к коему её относили Иванов с Топоровым). В германской мифологии сакральное число определённо не 7, а 9, есть следы счёта 9-дневными периодами - что на самом деле является сидерической неделей.