egovoru | Мы – гуманисты, да! Нам дорог свет (Reply)

Математику, как она представляется формалистам – систему теорем, выведенных по заранее оговоренным правилам из заранее выбранных аксиом, Рубен Херш называет «парадным фасадом»: именно так математика и излагается в учебниках. Реальная же математика, практикуемая представителями этой профессии, начинается вовсе не с выбора аксиом, а с постановки задачи – или, как и в естествознании, с выдвижения гипотезы (я уже сетовала тут по поводу отсутствия в русском языке слова «конъекция», соответствующего «conjecture», как чаще всего называют еще не доказанные математические утверждения по-английски). Никто не знает, как наш ум порождает гипотезы, но ясно, что не при помощи формальных рассуждений (тут Херш солидарен с Роджером Пенроузом, категорически утверждающим, что мышление математика невозможно алгоритмизировать, хотя и не упоминает его в этой связи).

«Мейнстримной» философии математики (объединяющей платонистов и кантианцев, одинаково убежденных в вечности, очевидности и неколебимости математических истин) противостоит философия, как ее называет Херш, гуманистическая, а именно, представление о математике как о продукте человеческой деятельности. Родословная у нее не менее почтенная, чем у мейнстримной, ибо, по мнению Херша, первым математическим гуманистом был Аристотель. Он вроде бы считал фигуры и числа результатом абстрагирования, то есть, исключения из рассмотрения большинства свойств физических объектов, кроме размера и формы – для фигур и «численности» (так, видимо, следует перевести «numerosity» Херша?) – для чисел.

Подозреваю, тут Херш выдает желаемое за действительное, приписывая Аристотелю сугубо современный ход мысли – нас-то учили, что Аристотель просто переместил предсуществующие платонические эйдосы из отдельного трансцендентного мира в физические тела; но сегодня процесс создания абстрактных, в том числе и математических, понятий представляется именно так. Херш не упоминает средневековые «универсалии», но тогдашние споры «номиналистов» с «реалистами» были близки к современным дискуссиям об онтологической природе математических понятий.

К другим «доисторическим» разработчикам гуманистической философии математики Херш причисляет Эвклида, Локка, Юма, Даламбера, Милля, Пирса, Пуанкаре и Витгенштейна. Но ее историю от ведет от Имре Лакатоса (как прожившей два года в Венгрии, мне все же хочется называть его Лакатошем), а именно от «Доказательств и опровержений». Вот как Херш излагает основные положения этого труда:

«Математика, как и естествознание – не непогрешима. Она точно так же растет путем постоянной критики и исправления теорий, а значит, точно так же подвержена двусмысленности, ошибкам и недосмотрам. Начинаясь с постановки задачи или выдвижения гипотезы, она ищет и доказательство, и контрпримеры. Доказательство объясняет контрпримеры, контрпримеры опровергают доказательство. Доказательство – это не механическая процедура выстраивания нерушимой цепи истин от допущения к заключению. Это объяснение, обоснование и углубление, делающие гипотезу убедительной, в то время как контрпримеры ее уточняют и детализируют. Каждый этап доказательства – предмет для критики, которая может быть как просто общим скептицизмом, так и контрпримером, опровергающим конкретный аргумент».

Ну, а как же объяснить «непостижимую эффективность математики в естественных науках» Юджина Вигнера? А очень просто: «Математика – часть человеческой культуры и истории, укоренных в нашей биологической природе и нашем физическом и биологическом окружении. Наши математические идеи в целом соответствуют нашему миру по той же причине, по которой наши легкие соответствуют составу земной атмосферы». Реальность математики социальна – это реальность постоянно развиваемой совокупности обобществленных идей. (То есть, это третий мир Поппера, который Херш и поминает). Затрагивает он и «проклятый» вопрос: открывают ли математики нечто новое или изобретают его? И то, и другое: открывают новые способы решения задач и изобретают новые математические теории; тут нет дихотомии.

Watch on YouTube

Третья часть интервью Рубена Херша
American Mathematical Society 30 апреля 2014
(у AMS плоховато со счетом: они загрузили на ютьюб
третью часть под четветым номером, а пятую под третьим :)

Это мой третий и последний пост по книжке Херша; а вот первый и второй.