Ты право, пьяное чудовище

[egovoru]

По моему разумению, математика знает только два вида истины. Первый – это аксиомы, то есть, утверждения, принятые за истину чисто условно, по договоренности. Иногда такие аксиомы не имеют четкой формулировки, а просто подразумеваются – как в «очевидно, что...» в начале математического рассуждения. Второй вид математической истины – это высказывания, полученные преобразованием аксиом по заранее выбранным правилам, которые, опять же по условной договоренности, считаются сохраняющими истинность первоначального утверждения.

Так что, когда Роджер Пенроуз в своей книжке «Тени разума» приходит к выводу, что «для установления математической истины математики не применяют заведомо обоснованные алгоритмы», формально он прав: действительно, некоторые математические истины (а именно, аксиомы) не требуют дедуктивного вывода. Но разве теорема Геделя говорит что-нибудь о том, как именно мы их выбираем, и можно ли этот процесс смоделировать в виде алгоритма?

Пенроуз пишет, что задача найти нечетное число, которое можно представить в виде суммы двух четных, приводит к перманентному «зависанию» машины Тьюринга, хотя даже первоклассник разбирается с ней мгновенно. Но я что-то не могу поверить, что компьютер нельзя запрограммировать так, чтобы он сразу же сообщал, что такого числа не может быть, потому что не может быть никогда?

Сэр Роджер Пенроуз о платоническом мире математических объектов

Спасибо уважаемой yoginka, чей интерес к теме сподвигнул меня на чтение второй книжки Пенроуза.

Comments

[greygreengo.livejournal.com]

А где Вы с Пенроузом на брудершафт пили?

[noname-rambler.livejournal.com]

А попробуйте... Нет, не с Пенроузом выпить (хотя почему бы и не... вот с ним думаю можно), а алгоритмически выразить поиск такого числа.

[bluxer.livejournal.com]

Если это правда, то может быть, машине Тюринга не хватает знания каких-то общих концепций вроде того, что делится на два, а что нет?

Что касается аксиом, то надо полагать, они не устанавливаются, а объявляются.

[alex-new-york.livejournal.com]

Математические рассуждения и доказательства используют массу логических конструкций, автоматическая применимость и оправданность которых совершенно не очевидна. Например, математик может предположить, что интересующий его объект А обладает свойством X, после чего примется рассуждать об остальных свойствах этого объекта, не чувствуя ни малейшего подвоха. В квантовой же физике, например, установление того факта, что объект А обладает свойством X, может подразумевать, что объект А изменен наблюдением свойства Х и его больше не существует, а существует новый объект В, поэтому об остальных свойствах объекта А рассуждать уже нет смысла.

[xgrbml.livejournal.com]

Of course, mathematics is discovered, not invented.

Высказывание про машину Тьюринга и нечетное число, которое можно представить в виде суммы двух четных, лишено смысла: машин Тьюринга много. Как насчет такой, которая напечатает "таких нет" и остановится?

[egovoru.livejournal.com]

Я так и подумала, что читатели непременно отнесут обращение в заглавии поста на счет Пенроуза :) На самом деле, конечно, эти строчки - просто первое, что мне приходит в голову при слове "истина". Ну, может, после соответствующих пушкинских строк, но те я уже использовала в каком-то прежнем посте.

А что Вы скажете по поводу пенроузовского заключения о том, что наши мышление и сознание не могут быть алгоритмом?

[egovoru.livejournal.com]

"алгоритмически выразить поиск такого числа"

Проблема в том, что я не до конца уверена, что действительно понимаю, что такое алгоритм. Тем более, что разные люди используют это слово в немного разных значениях: вот у Юрия Манина (https://egovoru.livejournal.com/118823.html), например, и фермент - алгоритм :) Надо отдать ему должное, Пенроуз в своей книжке четко оговаривает, что он под алгоритмом будет понимать машину Тьюринга. Но я не уверена, что я достаточно четко представляю себе эту машину, чтобы рассуждать о том, что она может сделать, а что - нет :( А Вы?

[egovoru.livejournal.com]

"машине Тюринга не хватает знания каких-то общих концепций вроде того, что делится на два, а что нет"

А почему же нельзя сообщить машине эти знания в качестве начальных условий?

"они не устанавливаются, а объявляются"

А в чем же разница между этими двумя словами?

[egovoru.livejournal.com]

"массу логических конструкций, автоматическая применимость и оправданность которых совершенно не очевидна"

Применимость математических построений к физическому миру - это уже другая проблема. Пенроуз старается доказать, что человеческий ум способен к обнаружению такой истины (отсутствие нечетного числа, состоящего из двух четных - только самый элементарный пример их), которые машина Тьюринга найти не в состоянии. Из этого он делает вывод, что человеческое мышление невозможно смоделировать алгоритмом. На мой взгляд, рассуждать о том, алгоритмизуемо ли наше мышление, совершенно бесполезно до тех пор, пока мы не выясним его нейрофизиологические и биохимические механизмы. А Вы как думаете?

[egovoru.livejournal.com]

"mathematics is discovered, not invented"

В нашу компьютеризированную эпоху, действительно, легко стать платонистом :) Но меня, признаться, рассуждения о том, что в основе физического мира лежат не квантовые поля или суперструны, а "голая информация", приводят в недоумение: по мне, сколько ни говори "халва", во рту сладко не станет!

А Вы, вероятно, смогли бы объяснить мне, что же все-таки имел в виду Джон Уилер, когда отчеканил свое знаменитое "It from bit"? Я даже попыталась почитать его исходную статью об этом (http://cqi.inf.usi.ch/qic/wheeler.pdf), но она, увы, далеко превосходит мои возможности понимания :(

"Как насчет такой, которая напечатает "таких нет" и остановится?"

Пенроуз почему-то считает, что ни одна машина к этому не способна. Из чего он делает глобальный вывод о том, что человеческое мышление и сознание неалгоритмизируемо. Мне же кажется, что рассуждать об этом до того, как мы выяснили нейрофизиологические и биохимические механизмы мышления и сознания, совершенно бессмыссленно. А Вы что думаете?

[greygreengo.livejournal.com]

Стоит ли упоминать о наличии принципа полной и неполной математической индукции в теории доказательств?
Алгоритмизация принципа - задача не до конца поставленная в рамках современных языков программирования, но вполне может иметь решение в рамках нейросетевого моделирования, или схемы обучения с учителем, которая до сих пор актуальна в теории ИИ. Учитель говорит, что А - невозможно, и, очерчивает границы до которых обучаемый (одно- или многослойный перцептрон) может зайти за эти границы. А при обратном прогоне показывает, где и как выход за границы возможного упрощает или усложняет обучение.

Всегда люблю здесь цитировать именно это: - "она начиталась всяких прелестных историй о том,
как дети сгорали живьем или попадали на съедение диким зверям,
-- и все эти неприятности происходили с ними потому, что они не
желали соблюдать простейших правил, которым обучали их друзья:
если слишком долго держать в руках раскаленную докрасна
кочергу, в конце концов обожжешься; если поглубже полоснуть по
пальцу ножом, из пальца обычно идет кровь; если разом осушить
пузырек с пометкой ``Яд!'', рано или поздно почти наверняка
почувствуешь недомогание."
Кэрролл это еще во времена до Джона Булля, основателя буллевой логики, предсказывал. Не в этом ли ценность вот таких, вечных предупреждений, оформленных в красивые рамки детских сказок?

[alex-new-york.livejournal.com]

Мне кажется, мы уже неплохо понимаем нейрофизиологию индивидуальных нейронов -и электрохимические её аспекты, и гормональные, и цитологические описывающие динамику возникновения и распада нейронных связей. Конечно, во многих деталях еще предстоит разбираться, но всё же основная проблема на сегодня - не столько прояснить до конца микрокартину, сколько понять логику эмерджентности макрологики мышления из процессов микроуровня.

Подозреваю, что эта макрологика не очень чувствительна к своей аппаратной микрореализации, так сказать. И что искусственные нейронные сети могут осуществлять достаточно адекватное картирование этой макрологики при условии доступа к сигналам микроуровня.

А что касается невозможности существования нечетной суммы четных чисел, то компьютерные программы давно способны доказывать несравненно более сложные математические теоремы.

[noname-rambler.livejournal.com]

Юрий Мамин прав — если я правильно понимаю, что такое фермент:)
Алгоритм это жёстко (жёстко значит жёстко — "треугольник", а не "ромб") заданная последовательность действий: берёшь это и это, делаешь с ними это, результат сравниваешь с шаблоном, если совпало — останавливаешься, если нет — продолжаешь дальше. Так работает вычислительная схема любого компьютера, по крайней мере до изобретения кубитов, но с кубитами, как мне представляется, больше мистического туману пока ещё.
Компьютер (его программная часть) состоит из множества элементарных параллельных и вложенных друг в друга "машин Тьюринга" — это создаёт иллюзию "машинного интеллекта". Устроен ли человечий интеллект по такому матрёшечному принципу? Пенроуз пытается доказать что нет, опираясь на теорему Геделя... Кстати, описание доказательства этой теоремы у него довольно внятное (несмотря на декларируемое косноязычие, а возможно и благодаря ему), даже я начал врубаться, хотя близкие отношения с математикой у меня закончились на третьем курсе вуза — ровно когда закончился курс математики, что нам давали.

[3seemingmonkeys.livejournal.com]

у меня большие сложности были в школе с математикой, то она требовала доказывать вроде бы очевидную вещь, то наоборот какой-то факт объявлялся доказывающим то-то и то-то.. было совершенно не понятно как определить, в какой момент предположение превращается в истину.

[eldhenn]

> Пенроуз пишет, что задача найти нечетное число, которое можно представить в виде суммы двух четных, приводит к перманентному «зависанию» машины Тьюринга, хотя даже первоклассник разбирается с ней мгновенно.

"А можно еще хер себе дверью специально прищемить и потом всем рассказывать про неправильные двери."
Первоклассник разбирается мгновенно с другой задачей. "Существует ли нечётное число, которое можно представить в виде суммы двух чётных, и если существует, найдите такое число".

[eldhenn]

> рассуждать о том, алгоритмизуемо ли наше мышление, совершенно бесполезно до тех пор, пока мы

Не определим, что такое мышление. Впрочем, Пенроузу отсутствие строгих определений не мешает. Он ставит логику в любые возможные и невозможные позы, лишь бы получалось то, что он хочет показать.

[bluxer.livejournal.com]

1. Вот и я спрашиваю, почему нельзя. По идее, должно быть можно.

2. Начальная посылка объявляется истинной без особых церемоний. Может быть, потому что очевидна.

[bluxer.livejournal.com]

Голова - предмет темный и исследованию не подлежит.

[steblya-kam.livejournal.com]

Именно. У меня примерно так и было. Я оказалась слишком большой материалисткой для математики :-)

[egovoru.livejournal.com]

"мы уже неплохо понимаем нейрофизиологию индивидуальных нейронов"

Да, мы уже знаем базовые принципы генерации и передачи нервных импульсов, но этого и близко недостаточно, чтобы разобраться в механизмах мышления и сознания. Эти последние - результат взаимодействия биллионов нейронов, а мы даже не знаем, кто из них с кем соединяется, не говоря уже о функциональных деталях этих соединений. В отличие от транзисторов искусственных нейросетей, синапсы чрезвычайно динамичны (их проводимость регулируется в зависимости от условий и нагрузки), и от этой динамики многое зависит. Кроме того, есть ведь принципиально разные типы синапсов, а кроме синапсов, еще чисто электрические контакты (gap junctions), а также внесинаптическая химическая сигнализация, причем, упомянутые Вами гормоны - только малая ее часть.

"искусственные нейронные сети могут осуществлять достаточно адекватное картирование этой макрологики"

Отдавая себе отчет в описанной выше сложности, тут я воздерживаюсь от мнения: я не берусь судить, насколько функции высшей нервной деятельности воспроизводимы в силиконе. Насколько я могу судить, пока что мы идем по пути конструирования самолета, который не похож на птицу: то есть, искусственные нейросети не пытаются воспроизвести активность мозга, детали которой мы и не знаем, а пытаются достичь того же конечного результата любыми средствами. Насколько далеко мы сможем зайти, я не знаю.

"что касается невозможности существования нечетной суммы четных чисел, то компьютерные программы давно способны доказывать несравненно более сложные математические теоремы"

Пенроуз считает, что человеческий мозг может делать нечто такое, чего машина принципиально не может. Вся книжка, собственно - попытка доказать этот тезис. Не знаю, читали ли Вы ее? Русский перевод доступен в сети свободно (по ссылке из поста).

[egovoru.livejournal.com]

"Пенроуз пытается доказать что нет, опираясь на теорему Геделя"

Да, но мне кажется, что эта теорема не имеет ни малейшего отношения к теореме Геделя. Пенроуз пишет, что человек может знать некоторые математические истины без логического вывода. Мне же думается, как я написала в посте, такие истины - это только аксиомы, которые мы принимаем вообще без доказательства. Мне думается, все дело упиратеся в платонизм: Пенроуз, видимо, полагает, хотя в явном виде этого утверждения в книжке я и не нашла, что эти самые логически невыводимые истины человек постигает непосредственно из платонического мира. Я же ни в какой такой мир не верю.

[egovoru.livejournal.com]

Боюсь, у Вас был не слишком толковый учитель. Математика - род шахмат: есть ограниченный набор фигур и ограниченный набор правил их передвижения по доске.

[egovoru.livejournal.com]

"Пенроузу отсутствие строгих определений не мешает"

А вот этот упрек все же не по адресу: наоборот, Пенроуз отлично понимает многозначность слов "алгоритм", "мышление", "сознание" и т.д. и по мере сил пытается давать им по крайней мере рабочие определения, не претендуя на их всеобщность.

В частности, у него интересное понимание соотношения мышления и сознания. Он считает, что первое невозможно без второго, в то время как те многие, кто рассуждает о "философских зомби", полагают иначе.

[eldhenn]

> пытается давать им по крайней мере рабочие определения

Нигде и никогда он не делает этого. И даже не пытается. Он понимает всё это как-то по-своему, делая вид, что это "естественное" и всеобщее понимание. В общем, как я и сказал, профессионально ставит логику в любые нужные ему позы.

[egovoru.livejournal.com]

"Существует ли нечётное число, которое можно представить в виде суммы двух чётных, и если существует, найдите такое число"

Я дословно воспроизвела формулировку Пенроуза: "Find an odd number that is the sum of two even numbers".

По-видимому, он предполагает, что машина Тьюринга может действовать только перебором, т.е., брать поочередно пары четных чисел, складывать их и проверять, является ли сумма нечетным числом. Но я не уверена, как и написала в посте, что компьютер действительно нельзя запрограммировать так, чтобы он сразу определил, что эта задача не имеет решения.